Acotando la suma de recíprocos "divergentes más lentos" o "convergentes más lentos"

Sea el conjunto infinito de enteros positivos$S=\{{a_1,a_2,...}\}$tal que$\sum_{i=1}^{n}a_i=\lfloor\frac{n^2\sqrt(n)}{\ln\left({n}\right)}\rfloor$. ¿La suma$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{a_i}$convergen o divergen? Si converge, ¿a qué límite? Y si diverge, ¿a qué velocidad?

Encuentro interesante esta serie en particular porque si consideramos el conjunto infinito de enteros positivos$S=\{{b_1,b_2,...}\}$tal que$\sum_{i=1}^{n}b_i=\lfloor{n^2\sqrt(n)}\rfloor$, se puede demostrar que la suma$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{b_i}$converge, como$b_n\sim\frac{n^2+7n+2}{2}$; y por otro lado, si consideramos el conjunto infinito de enteros positivos$S=\{{c_1,c_2,...}\}$tal que$\sum_{i=1}^{n}c_i=\lfloor{n^2\ln(n)}\rfloor$, se puede demostrar que la suma$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{c_i}$diverge, como$c_n\sim n\ln(n)$.

Además, me interesa por este otro post que publiqué ( Pregunta sobre convergencia/divergencia de sumas de recíprocos de enteros positivos ); Estoy tratando de acotar lo más claramente posible la función propuesta$F(n)$. Así que si tienes alguna idea de cómo podría hacerse, es más que bienvenido.

¡Gracias de antemano!