¿Enchufar Majorana Spinor en Dirac Lagrangian no da Majorana Lagrangian?

Esto parece que debería ser simple, pero de alguna manera no veo cómo.

El lagrangiano de Majorana se puede escribir en términos de un espinor de Weyl zurdo ψ L como

L METRO = i ψ L † σ ¯ m ∂ m ψ L − metro 2 ψ L T ϵ ψ L + metro 2 ψ L † ϵ ψ ¯ L .
Mientras tanto, el Lagrangiano de Dirac se puede escribir en términos de un espinor de Weyl zurdo. ψ L y un espinor de Weyl diestro ψ R como
L D = i ψ L † σ ¯ m ∂ m ψ L + i ψ R † σ m ∂ m ψ R − metro ( ψ L † ψ R + ψ R † ψ L ) .

Aquí estoy usando la convención σ m = ( I , σ i ) , σ ¯ m = ( I , − σ i ) , y ϵ = ( 0 1 − 1 0 ) .

La condición de realidad para el espinor de Majorana es simplemente

ψ R = − ϵ ψ ¯ L .
Conectando lo anterior ψ R en L D , y usando la identidad − ϵ σ m ϵ = ( σ ¯ m ) ∗ , Yo obtengo

L D = i ψ L † σ ¯ m ∂ m ψ L + i ψ L T ( σ ¯ m ) ∗ ∂ m ψ ¯ L + metro ψ L † ϵ ψ ¯ L − metro ψ L T ϵ ψ L .

me parece que tendria L D = 2 L METRO si tan solo pudiera probar

i ψ L † σ ¯ m ∂ m ψ L = ? i ψ L T ( σ ¯ m ) ∗ ∂ m ψ ¯ L .

Sin embargo, no veo por qué la ecuación anterior tiene que ser cierta. Una capa adicional de complicación es que ψ L es realmente un vector de variables de Grassmann que satisfacen

{ ψ L a , ψ L b } + = 0 { ψ a ¯ L , ψ b ¯ L } + = 0 { ψ L a , ψ b ¯ L } + = d a b
para a , b = 1 , 2 .

¿Cuáles son las manipulaciones correctas para demostrar que L D = 2 L METRO ?

Hola amigo, tu masa de Dirac − metro ( ψ L † ψ R + ψ R † ψ L ) no suena bien. debería leer − metro ( ψ ¯ L ψ R + ψ ¯ R ψ L ) .
En una base quiral la falta γ 0 en ψ ¯ = ψ † γ 0 alterna los espinores derecho/izquierdo.

Respuestas (1)

ah Lo averigué. quiero mostrar eso

i ψ L † σ ¯ m ∂ m ψ L = ? i ψ L T ( σ ¯ m ) ∗ ∂ m ψ ¯ L .

Manipulemos el lado derecho. Debido a que es un solo número (en un sentido de álgebra lineal), es igual a su propia transpuesta. Sin embargo, debido a que ψ L es realmente un vector de columna de 2 componentes de números de Grassmann anticonmutadores, cuando tomamos la transposición también tenemos que negarla cuando invertimos implícitamente el orden de la multiplicación. Entonces

i ψ L T ( σ ¯ m ) ∗ ∂ m ψ ¯ L = ( i ψ L T ( σ ¯ m ) ∗ ∂ m ψ ¯ L ) T = − i ∂ m ψ ¯ L † ( σ ¯ m ) † ψ L .
A continuación, tenga en cuenta que ( σ ¯ m ) † = σ ¯ m porque todas las matrices de Pauli son autoadjuntas. Finalmente, integre por partes, recogiendo un signo menos adicional. Esto nos da nuestra ecuación deseada.
i ψ L T ( σ ¯ m ) ∗ ∂ m ψ ¯ L = − i ∂ m ψ L † ( σ ¯ m ) † ψ L = − i ∂ m ψ L † σ ¯ m ψ L = i ψ L † σ ¯ m ∂ m ψ L

Que es justo lo que quería.

Tenga en cuenta que he estado usando ψ ¯ L significar lo que la mayoría de la gente quiere decir con ψ L ∗ .

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