Medición de la simetría quiral: ¿hay un campo vectorial que se acople a la corriente quiral?

1) De hecho, existen teorías en las que los campos similares a vectores de calibre acoplados a la corriente de fermiones axiales entran en juego. El ejemplo más familiar es, por supuesto, el modelo estándar , en el que existe el local$SU_{L}(2)$simetría (los dobletes de fermiones izquierdos interactúan con 3 campos de calibre$W_{\mu}^{a}$). Es posible reescribir la teoría en términos de base vector-axial,

$$\psi_{L} \equiv \frac{1}{2}\psi - \frac{\gamma_{5}}{2}\psi,$$ y los campos de calibre vector-axiales correspondientes son $$V_{\mu}^{a} = \frac{W_{\mu}^{a}}{2}, \quad A_{\mu}^{a} = -\frac{W_{\mu}^{a}}{2}$$ 2) También existen muchas teorías de campos realistas en las que existen los campos de vectores axiales, pero donde no están los campos de calibre ; típicamente hay campos que representan algunas partículas o las simetrías de la teoría.

El ejemplo familiar son los mesones de vector axial en el QCD cerca y debajo de la simetría quiral global.$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$rompiendo la escala. Un enfoque para introducir estos mesones es el siguiente: uno puede medir esta simetría introduciendo campos de vectores axiales sin masa, y luego romperla explícitamente agregando los términos de masa. Aunque este enfoque parece poco natural, de hecho tiene un origen teórico (la acción de la teoría de la perturbación quiral ha ocultado el calibre local).$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$simetría), origen fenomenológico (los mesones vectoriales axiales son, por supuesto, la parte del QCD que respeta la simetría quiral aproximada) raíces históricas profundas (el llamado modelo de dominancia de mesones vectoriales) y describe con más o menos éxito los datos.

Otro ejemplo de teoría tan efectiva es el semimetal de Weyl cerca del punto de cruce de las bandas. Está dada por la teoría de los fermiones quirales sin masa con una distancia distinta de cero en el espacio de impulso y energía entre su espectro (siendo los conos de Dirac), parametrizados por$b_{\mu}$. Es local debido a las tensiones y dislocaciones en el semimetal. El lagrangiano de dicho modelo coincide efectivamente con

$$L = \bar{\psi}(i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} -\gamma^{\mu}\gamma_{5}b_{\mu})\psi$$ 3) Además, en ocasiones se introducen campos de calibre axial de fondo cuando necesitamos definir la corriente axial a través de la acción. Precisamente, si introducimos dicho campo $A_{\mu}$, entonces la corriente correspondiente viene dada por $$J_{\mu}^{A}(x) = \frac{\delta \Gamma[A]}{\delta A^{\mu}(x)}$$ Después de calcular la corriente y sus propiedades (a menudo relacionadas con la anomalía quiral) el acoplamiento a $A$se pone a cero. Este truco fue utilizado por Bardeen cuando calculó la anomalía en $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$teoría similar a la QCD.

Nota sobre las anomalías mixtas

Por supuesto, si tiene simetrías calibradas tanto de vector como de vector axial, aparece la anomalía de calibre. Si tiene solo una especie de fermión, entonces, en general, la teoría será inconsistente. Se requieren otros fermiones para cancelar esta anomalía. Sin embargo, puede ver en el texto escrito anteriormente que, a menudo, los campos de calibre axiales (o vectoriales) son de hecho ficticios (o incluso pueden corresponder a partículas físicas), y en estos casos no tiene que preocuparse por las anomalías. De hecho, supongamos la teoría en la que ambos vectores$V_{\mu}$y vector axial$A_{\mu}$los campos están presentes; sin embargo, el campo axial es físico. Entonces la anomalía (consistente) para corrientes vectoriales y axiales es

$$\tag 1 \partial_{\mu}J^{\mu}_{V} = \frac{1}{48\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{V},$$ $$\tag 2 \partial_{\mu}J^{\mu}_{A} = \frac{1}{96\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{A} + F_{\mu\nu}^{V}F_{\alpha\beta}^{V})$$ Para eliminar la anomalía de la conservación actual del vector (y las correspondientes identidades de Ward, por supuesto), debe agregar el término contrario local (en la literatura se llama el término contrario de Bardeen), que cancela el lado derecho de $(1)$. La expresion $(2)$en cambio toma la forma $$\partial_{\mu}J^{\mu}_{A} = \frac{1}{96\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{A} + 3F_{\mu\nu}^{V}F_{\alpha\beta}^{V})$$ Este contratérmino genera incluso la parte física adicional de la corriente vectorial $J_{\mu}$, a saber $$\Delta J_{\mu}^{V} \sim \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}A^{\nu}F^{\alpha\beta}_{V}$$