Fermiones de Majorana

Si escribes los espinores de Majorana como

(1) x = ( ψ L i σ 2 ψ L ∗ )

Satisface la ecuación de Dirac que te lleva a la ecuación de Majorana

i σ ¯ m ∂ m ψ L = i metro σ 2 ψ L .

Pero si x satisface a Dirac, es el Lagrangiano de Dirac el Lagrangiano para x ? Mi pregunta surge de una de mis clases de QFT donde el profesor dijo que los campos de Majorana como Eq. (1) no tengo tu ( 1 ) simetría. Sin embargo, si satisface la ecuación de Dirac, su lagrangiano debe ser el de Dirac y, por lo tanto, debe tener tu ( 1 ) simetría.

Además, ¿cómo sabes que los de Majorana se autoconjugan? ¿Lo impones o es un resultado del Lagrangiano o Eq. (1) o en algún lugar? He estado tratando de entender esto, pero estoy realmente atascado.

Respuestas (1)

Quizás un ejemplo más simple ayudará a mostrar el problema. Considere el campo escalar complejo Lagrangiano,

L = ( ∂ m ϕ ∗ ) ( ∂ m ϕ ) − metro 2 ϕ ∗ ϕ .
Este lagrangiano tiene un tu ( 1 ) simetría por rotaciones de fase.

Ahora considere un campo real φ . Ya sabemos cómo lidiar con ellos, pero por pereza, podríamos optar por escribir el campo real como un campo complejo ϕ que pasa a ser su propio conjugado, ϕ ∗ = ϕ . Esto es útil porque podemos usar el mismo campo escalar complejo Lagrangiano,

L = ( ∂ m ϕ ∗ ) ( ∂ m ϕ ) − metro 2 ϕ ∗ ϕ .
Sin embargo, este lagrangiano no tiene tu ( 1 ) simetría como la original, aunque se ve igual, porque ϕ es realmente real. Simplemente no puedes rotar su fase en primer lugar.

La misma lógica se aplica al campo espinoso de Majorana. Empezamos con un campo de espinor de Weyl ψ L . Si solo conocemos el Lagrangiano de Dirac, entonces no sabemos cómo escribir un Lagrangiano solo para este espinor de Weyl. Así que elegimos escribirlo como un espinor de Dirac completo x que está obligado a ser su propio conjugado, y simplemente use el Lagrangiano de Dirac para x . Sin embargo, este lagrangiano no tiene tu ( 1 ) simetría como la original, aunque se ve igual, porque x es autoconjugado. Simplemente no puedes rotar su fase en primer lugar.

He hecho el cálculo explícito del Lagrangiano para x , L = x ¯ ( i γ m ∂ m − metro ) x , y obtengo términos que van con ψ L ψ L , ψ L ∗ ψ L ∗ , ψ L ψ L ∗ . Los primeros 2 hacen el tu ( 1 ) simetría imposible, verdad? En realidad se puede ver que una rotación de x implicaría que ψ L se transforma con la rotación y ψ L ∗ con la inversa de la rotación, lo cual no tiene sentido. ¿Es esto lo que quieres que te explique?
¿Y qué hay de lo de autoconjugarse? ¿Es algo que imponemos o lo deducimos de alguna manera?
@Vicky Depende de cómo lo expreses, por eso es confuso. Creo que lo más sencillo es decir, queremos una teoría con solo un espinor de Weyl zurdo. Dado un campo, siempre puedes conjugarlo para obtener otro derecho, que es un espinor de Weyl diestro. Si apila estos dos objetos juntos, obtendrá un objeto de 4 componentes, que resulta ser un espinor de Dirac que se autoconjuga.
@Vicky Entonces, lo fundamental es que comienzas con un espinor de Weyl masivo. Da la casualidad de que sus grados de libertad se pueden empaquetar en un espinor de Dirac autoconjugado. Sin embargo, otras personas nunca mencionan los espinores de Weyl y, en cambio, dicen que un espinor de Majorana es un espinor de Dirac que se autoconjuga, lo que va en la dirección opuesta. Al final del día, la teoría es la misma de todos modos, por lo que realmente no importa.
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