En relatividad libre de coordenadas, ¿cómo definimos un vector?

Honestamente, este material GR sin coordenadas (el pdf de Winitzki en particular) se parece a GR como lo enseñaría un matemático, muy similar al texto de Carmo sobre geometría riemanniana. En la geometría (pseudo-)riemanniana clásica, los vectores se definen como derivados de curvas parametrizadas afines, covectores como mapas de vectores a escalares o como gradientes de campos escalares. Algo así como el tensor de Riemann se define como un mapa en dos/tres/cuatro vectores que escupen dos vectores/un vector/un escalar.

A los geómetras diferenciales les encanta definir todo como un mapeo; Lo considero casi un fetiche, sinceramente. Pero es útil: definir tensores de rango superior como mapeos de vectores significa que el tensor hereda las leyes de transformación de cada argumento y, como tal, una vez que establece la ley de transformación para un vector, las leyes de transformación de los tensores de rango superior se aplican automáticamente.

Editar : veo que la pregunta es más cómo se puede descubrir que una cantidad física dada es un vector o un tensor de mayor rango. Creo que la respuesta allí es observar el comportamiento de la cantidad en un gráfico de cambio de coordenadas.

Pero Muphrid, nunca elegimos un gráfico de coordenadas en primer lugar; ¿No es así como funciona GR sin coordenadas?

Sí, pero el punto de GR sin coordenadas es solo retrasar la elección del gráfico tanto como sea posible. Todavía hay un gráfico, y la mayoría de los resultados dependen de que haya un gráfico, pero no de qué es exactamente ese gráfico.

¿Cómo nos ayuda mirar un cambio de gráfico (cuando nunca elegimos un gráfico en primer lugar)?

El mapa de transición de un gráfico a otro es un difeomorfismo y, por lo tanto, su diferencial se puede usar para empujar los vectores hacia adelante o tirar de los covectores hacia atrás. Por lo tanto, las leyes de transformación que suelen caracterizar a los vectores y covectores siguen ahí . Se ven así: deja$p \in M$sea ​​un punto en nuestra variedad relativista general. Dejar$\phi_1: M \to \mathbb R^4$ser un gráfico, y dejar$\phi_2 : M \to \mathbb R^4$ser otro gráfico. Luego hay un mapa de transición.$f : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4$tal que$f = \phi_2 \circ \phi_1^{-1}$que cambia entre los gráficos de coordenadas.

Por lo tanto, si hay un vector$v \in T_p M$, hay un vector correspondiente$v_1 = d\phi_1(v)_p \in \mathbb R^4$ese es el mapeo del vector original en el$\phi_1$tabla de coordenadas Entonces podemos mover$v_1 \to v_2$por el ( editar : diferencial del) mapa de transición.

Pero Muphrid, ¿no estamos destinados a trabajar con el vector real?$v$en el espacio tangente de$M$a$p$, no su expresión en un gráfico,$d\phi_1(v)$?

Usted podría pensar que sí, pero (como se me enseñó repetidamente en un curso de geometría diferencial) en realidad no sabemos cómo hacer ningún cálculo en otra cosa que no sea$\mathbb R^n$. Así que creo que hay un juego de manos en el que "realmente" lo que hacemos todo el tiempo es usar un gráfico para pasar a$\mathbb R^4$y hacer el cálculo que tenemos que hacer.

Lo que esto significa es que, en mi opinión, libre de coordenadas es un nombre poco apropiado. Todavía hay gráficos de coordenadas por todas partes. Simplemente los dejamos indeterminados el mayor tiempo posible. Todas las leyes de transformación que caracterizan a los vectores y covectores y otros rangos de tensores todavía están ahí y aún le permiten determinar si un objeto es uno u otro, porque siempre está en algún gráfico y siempre puede cambiar entre gráficos.

Hay 4 definiciones comunes de vectores tangentes, algunas de las cuales hacen uso de coordenadas solo ocasionalmente o incluso no las usan en absoluto.

Definición mediante leyes de transformación

Hay uno algo técnico preferido por algunos físicos (aquellos que valoran las reglas de cálculo sobre la percepción geométrica - cállate y calcula, probablemente conozcas el tipo): Un vector es solo un$\mathbb R$-tupla que obedece ciertas leyes de transformación bajo un cambio de coordenadas.

Esta definición en realidad tiene sentido en el contexto del programa de Erlangen, ya que el espacio tangente es un paquete vectorial asociado al paquete principal de marcos lineales. Sin embargo, como los espacios tangentes normalmente se introducen mucho antes que los grupos de mentiras y los paquetes principales, la definición parece poco intuitiva.

Definición como clases de equivalencia de curvas

Una más intuitiva define un vector como una clase de equivalencia de curvas tangentes entre sí. Necesitamos hacer uso de coordenadas para definir el contacto de curvas de primer orden necesario, pero este uso es mucho menos prominente.

Esta definición aclara por qué los vectores tangentes deben considerarse velocidades y viene con una generalización natural a espacios de chorro más altos.

Definición como derivaciones

Llegamos a una caracterización totalmente independiente de las coordenadas identificando vectores con sus derivadas direccionales: Un vector es simplemente una derivación, es decir, un funcional lineal que respeta la regla de Leibniz.

Esa es la definición que se puede encontrar en (¿la mayoría?) La literatura moderna sobre geometría diferencial (donde moderno significa algo así como los años 60).

definición algebraica

Otro sin coordenadas (pero muy abstracto) proviene de la geometría algebraica, y Muphrid me lo llamó la atención ayer: hay una definición puramente algebraica del espacio cotangente , y el espacio tangente es solo su dual.

Sospecho que la definición algebraica probablemente se puede hacer más concreta (desde un punto de vista analítico) en términos de infinitesimales (ver Cálculo avanzado de Sternberg para una definición de infinitesimales que tiene sentido en el análisis estándar, pero por supuesto no es idéntica a la no -estándar).

De "Gravitation" de MTW (a través de Google Books):

Respuesta actualizada a la pregunta editada:

Por ejemplo, ¿cómo sabemos en este contexto libre de coordenadas que el cuatro impulso puede describirse como un vector, pero el campo magnético no?

Recuerdo una sección relevante de "Un primer curso de relatividad general" de Schutz. En el apartado 4.4 sobre el tensor tensión-energía:

En el marco$\bar O$tenemos de nuevo la densidad numérica es$\gamma n$, pero ahora la energía de cada partícula es$\gamma m$ya que se esta moviendo. Por lo tanto, la densidad de energía es$\gamma^2 mn$:

$\gamma^2 \rho =$ densidad de energía en un marco en el que las partículas tienen una velocidad v

Esta transformación implica dos factores de$\gamma$porque tanto el volumen como la energía se transforman. Por lo tanto, es imposible representar la densidad de energía como alguna componente de un vector. Es, de hecho, un componente de un tensor de [segundo rango].

No estoy pidiendo una definición de un vector tangente. Estoy preguntando qué criterio puede usar para decidir si un determinado objeto puede describirse como un vector tangente. Por ejemplo, ¿cómo sabemos en este contexto libre de coordenadas que el cuatro impulso puede describirse como un vector, pero el campo magnético no?

Si entiendo correctamente su aclaración, su pregunta es en realidad sobre el modelado de sistemas físicos, y mi respuesta es genérica:

Lo mismo que con cualquier otra teoría física, comparando las predicciones de nuestro modelo con el experimento.

Independientemente de si usamos coordenadas o un lenguaje sin coordenadas, la geometría predice propiedades (p. ej., leyes de transformación) y operaciones permitidas (p. ej., contracción) al modelar cantidades físicas como geométricas.

Tome la electrodinámica: en el entorno no relativista, tratamos campos eléctricos y magnéticos de 3 vectores y usamos el producto vectorial para definir la fuerza de Lorentz. Lo hacemos de esta manera porque el experimento nos dice que así es como funciona la realidad en algún nivel.

Ahora, si tratamos de hacer una teoría relativista a partir de eso, no podemos hacer uso de 3 vectores o productos cruzados, y resulta que la forma correcta de modelar el campo electromagnético es como una forma 2, la ley de fuerza de Lorentz termina como contracción con el cuadrivector de velocidad.

El beneficio de la formulación relativista es que obtenemos las leyes de transformación correctas de forma gratuita, es decir, son una parte inherente de nuestro modelo.

Ahora, una forma de 2 es un objeto muy genérico, y podríamos preguntarnos si hay una manera de entender de dónde viene o si hay una estructura geométrica adicional. Esto nos lleva a la teoría de norma clásica sobre fibrados principales.

Otro ejemplo sería el escenario general de la mecánica relativista: los sistemas relativistas deberían ser invariantes frente a la reparametrización, y podemos formular tal dinámica de líneas universales pasando de chorros ordinarios a chorros de subvariedades .

¿Cuál es el beneficio de usar un lenguaje sin coordenadas sobre las coordenadas en esto? Personalmente, lo veo como una forma de control de cordura: no poder escribir una ecuación que aparece en su modelo en un lenguaje sin coordenadas es un olor de diseño y le dice que se ha perdido parte de la estructura relevante.

Tome las ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica:

A vista de pájaro, la dinámica viene dada por un campo vectorial$Z$en algún múltiple.

En la mecánica newtoniana y hamiltoniana, se puede definir en un lenguaje libre de coordenadas a través de

No sé cómo hacer esto en el caso de las ecuaciones de Euler-Lagrange y, de hecho, debo admitir que no he internalizado realmente la estructura geométrica de las teorías lagrangianas (ver, por ejemplo , arXiv:0908.1886 y este PDF ).

Por ahora, me conformo con ir a una descripción newtoniana

Incluyo algunos comentarios aquí, mis disculpas si no son relevantes.

Resulta que estoy leyendo Cartan para principiantes de Thomas Ivey y JM Landsberg. En el primer Capítulo describen cómo "hacer" ecuaciones diferenciales sin coordenadas. Es muy hermoso. En algún momento, vale la pena echar un vistazo a las matemáticas de los sistemas diferenciales exteriores porque están muy interesados ​​​​en encontrar un método sistemático para convertir teorías basadas en coordenadas en modelos geometrizados en el espacio de chorro.

Desde una perspectiva física, dada la importancia de la formulación lagrangiana de las cosas. La pregunta se reduce a cómo construir un Lagrangiano invariante (o quizás casi invariante hasta algún término que se desvanece en el límite...). Bueno, ¿cómo construimos tales cosas?

Tenemos que extraer un escalar de alguna manera.

Para objetos con valores grupales, necesitamos algún rastro para eliminar la matriz y obtener un número.

Para cada índice contravariante necesitamos un índice covariante con el que contraer. Desde mi punto de vista, la versión libre de coordenadas de un vector es simplemente un objeto matemático que empaqueta la ley de transformación necesaria. Es completamente equivalente trabajar con clases de equivalencia de vectores donde la equivalencia se juzga por la ley de transformación. Desde una perspectiva matemática, es mucho más sencillo pensar en términos de bases y coordenadas. Pero, cuando pienso en construir un Lagrangiano, debo admitir que el enfoque del índice de componentes tiene cierta belleza computacional. Además, algunos de los objetos coordinados tienen mucho álgebra exterior oculta. Por ejemplo, si entendí correctamente, las fórmulas para la derivada del dual al tensor de Faraday en Griffiths son en realidad las fórmulas de coordenadas para la coderivada del dual del Faraday.

Por supuesto, también tenemos índices de espinor. Podemos contratar contra diferentes tipos y así obtener nuevos escalares.

Creo que la verdadera pregunta es cómo construir invariantes.

Los matemáticos tienen sus axiomas para definir lo que es un vector, los físicos parten de un vector como una cantidad física que tiene una magnitud y una dirección. O al menos, así lo define Feynman en el volumen 1, 11-4 de sus conferencias sobre física. Estas dos propiedades pertenecen al objeto y no pueden depender de las coordenadas utilizadas para etiquetarlas.

Editar:

Del comentario de Ben, me gustaría agregar que elegimos un vector arbitrario como estándar y lo usamos para medir la magnitud y la dirección del resto de los vectores. Este proceso no puede depender del sistema de coordenadas que usamos para etiquetar los componentes de un vector.