¿Qué es un espacio dual/cotangente?

Me gustaría agregar algo sobre los espacios duales en relación con la mecánica cuántica ya que mencionaste "sostenes". Podría preguntar por qué necesitamos considerar los espacios duales en la mecánica cuántica y cómo se relaciona esto con los sujetadores.

Cada estado puro (en oposición a mixto ) de un sistema cuántico puede ser representado por un elemento de un espacio de Hilbert$\mathcal H$. En física, comúnmente denotamos tales elementos con un símbolo como$|\psi\rangle$, un "ket". Cada espacio de Hilbert, por definición, está equipado con un producto interno. Usemos la notación$(\cdot, \cdot)$para este producto interior, de modo que el producto interior de dos kets$|\psi\rangle$y$|\phi\rangle$se denota

$$(|\psi\rangle, |\phi\rangle)$$ y es un número complejo. El problema es que esta expresión nos parece difícil de manejar a los físicos, y también podríamos abreviarla de alguna manera, por lo que en su lugar, definimos un "bra-ket" de la siguiente manera: $$\langle \psi|\phi\rangle = (|\psi\rangle, |\phi\rangle).$$ Mucho más limpio ¿no? Ok, pero ¿cómo se relaciona esto con los espacios duales? Bueno, supongamos que dado cualquier ket$|\psi\rangle$, íbamos a definir una función$B_{|\psi\rangle}$en$\mathcal H$por $$B_{|\psi\rangle}(|\phi\rangle) = \langle \psi|\phi\rangle$$ Observe que esta función toma un elemento del espacio de Hilbert y genera un número complejo; el valor de un producto interior. Además, observe que por la linealidad del producto interno en su segunda ranura, para todos$|\psi\rangle, |\phi_1\rangle, |\phi_2\rangle\in\mathcal H$, y para todos$a_1,a_2\in\mathbb C$tenemos $$\begin{align} B_{|\psi\rangle}(a_1|\phi_1\rangle + a_2|\phi_2\rangle) &= \Big(|\psi\rangle,a_1|\phi_1\rangle + a_2|\phi_2\rangle\Big) \\ &= a_1\langle\psi|\phi_1\rangle + a_2\langle\psi|\phi_2\rangle \\ &= a_1 B_{|\psi\rangle}(|\phi_1\rangle) +a_2 B_{|\psi\rangle}(|\phi_2\rangle) \end{align}$$ En otras palabras, para cada$|\psi\rangle\in\mathcal H$, la función$B_{|\psi\rangle}$construido de esta manera es un vector dual.

Para acortar la notación nuevamente, los físicos simplemente hacemos la definición

$$B_{|\psi\rangle} = \langle\psi|.$$ y llamamos a este vector dual correspondiente a$|\psi\rangle$el sostén de$|\psi\rangle$desde la definición de$B_{|\psi\rangle}$nos permite escribir $$\langle{\psi|}(|\phi\rangle) = \langle \psi|\phi\rangle$$ en cuyo caso vemos que actuar sobre un ket con un sujetador da un "bra-ket" (donde "bra-ket" es solo otra forma de decir producto interno).

¡Entonces vemos que los sujetadores son, de hecho, vectores duales! ¿Por qué es todo esto necesario? Bueno, en realidad no lo es. Podríamos simplemente habernos deshecho de los sostenes y kets, lo que hacen los matemáticos, y podríamos haber escrito todas las expresiones de la mecánica cuántica que nos interesan sin problemas. De hecho, los textos de Weinberg sobre mecánica cuántica y teoría cuántica de campos no utilizan la notación de bra-ket y, como puede ver por sí mismo, nada se rompe.

Sin embargo, la mayoría de los físicos, incluyéndome a mí mismo, sienten que la notación bra-ket es intuitiva y útil desde el punto de vista computacional, y podemos ver en la discusión anterior que una forma natural de formalizar la notación es en términos de espacios duales y vectores duales, por eso es que introducirlos en este contexto.

Como probablemente sepa, el espacio dual de un espacio vectorial$V$es el espacio de todas las funciones lineales en el espacio$V$. Este es un concepto matemático abstracto, sin embargo, puede brindarnos formas muy agradables de representar las cosas en la física.

En el contexto de la geometría diferencial, el espacio dual es donde viven los objetos llamados vectores cotangentes, o más brevemente covectores. Una función que asigna un funcional lineal en cada punto es de una sola forma, y ​​son muy naturales para integrarse sobre caminos. De hecho, recuerda que si$M$es una variedad suave (es decir, un espacio general que puede ser curvo o no) para cada punto podemos pensar en el conjunto de todos los vectores. En símbolos, si$p \in M$es un punto de este espacio,$T_pM$es el conjunto de todos los vectores en$p$. El espacio dual para$T_pM$es el espacio cotangente$T^\ast_pM$que es el espacio vectorial de funcionales lineales en$p$.

si entonces$x^i$es el$i$-ésima coordenada asignada por algún gráfico alrededor$p$, la base más natural para$T^\ast_pM$es el conjunto de diferenciales$\left\{dx^i\right\}$. De modo que tenemos cualquier forma única$\omega(p) = \omega_i(p) dx^i$.

Con todo esto en mente, veamos cómo esto nos permite describir mejor las cosas en física. Piense en un campo de fuerza, generalmente pensamos en las fuerzas como vectores porque necesitan que se describa la dirección, sin embargo, dado un desplazamiento, una fuerza nos da el trabajo realizado para mover alguna partícula a lo largo del desplazamiento. Bueno, los desplazamientos son en realidad vectores naturales, por lo que podemos pensar en las fuerzas como funcionales lineales en vectores y los campos de fuerza como formas únicas. Piénsalo, un campo de fuerza sería entonces$F(p)=F_i(p)dx^i$y dado un vector en$p$tendríamos$F(p)(v)=F_i(p)v^i$ya que$dx^i(v)=v^i$. Es obvio que esto está dando el trabajo.

Además, recuerda que he dicho que es natural integrar formas únicas sobre rutas. Imaginar$\gamma : I \subset \mathbb{R} \to M$es camino, entonces el trabajo realizado para mover una partícula desde el punto inicial hasta el punto final sería:

$$W=\int_\gamma F$$

Que es muy natural. Entonces, podemos pensar en las fuerzas como formas únicas en las que los vectores dados nos dan trabajo. Si pensamos en el campo eléctrico, por ejemplo, entonces podríamos pensar en él como la forma única que los vectores dados nos dan el cambio en el potencial eléctrico. Además, las formas únicas normalmente se piensan geométricamente como$n-1$superficies en$n$-espacio cuyo valor al integrarse a lo largo de una curva es el número de superficies perforadas. Piense un poco en cómo se relaciona esto con los campos y potenciales eléctricos.

En otras palabras: matemáticamente, el elemento del espacio dual es un funcional lineal y la asignación de una de esas funciones en cada punto es una forma. Esto es sólo general y abstracto. Solo debes pensar entonces: ¿en qué momentos algún objeto usado para describir algún fenómeno será bien descrito usando tales entidades abstractas? Encuentras fuerzas, campos, etc. Después de ver el poder de esos objetos en diferentes lugares, comprenderá que el "significado" de un espacio dual realmente depende de lo que está tratando de describir.

Es difícil encontrar una respuesta a esta pregunta aparentemente matemática sin recitar el artículo de wikipedia que ya explica de qué se trata. Si tiene funciones con un grupo abeliano como codominio (por ejemplo, números que se pueden sumar), entonces el espacio de funciones hereda esa propiedad y se convierte en un grupo abeliano en sí mismo:

$\psi(v)=a,\ \phi(v)=b,\ \text{with}\ \ a+b=b+a,$

$(\psi+\phi)(v):=\psi(v)+\phi(v)\ \ \ \longrightarrow\ \ \ \psi+\phi=\phi+\psi.$

El espacio dual consta de funciones lineales desde el espacio vectorial hasta los números. El dominio de estas funciones (el espacio vectorial) tiene cosas como bases y similar al argumento anterior, el espacio dual se convierte en un espacio vectorial en sí mismo. Más allá de este bosquejo, no veo mucho sentido en explicar por qué existen los espacios duales, matemáticamente.

Si describe algo por algún objeto, entonces puede considerar funciones en este objeto para otros objetos, matemáticamente. En la construcción de modelos de física, utiliza estructuras matemáticas, a veces tipos de objetos salvajes, pero dado que el experimento se trata de comparar cosas entre sí, siempre necesita asignar estos objetos a números, eventualmente. Es bueno trabajar con vectores, las relaciones lineales se encuentran entre las más simples, y las longitudes y los ángulos se pueden expresar a través de la construcción del espacio dual, los funcionales lineales del espacio vectorial. Creo que desde esta postura, no es sorprendente que aparezcan.

También hay mapas no lineales, determinantes o lo que sea. La energía total del campo eléctrico.$\vec E(x)$es un número asociado con un vector, pero depende de él de una manera más complicada.