Estoy interesado en aprender a usar geometría y topología en física. ¿Alguien podría recomendar un libro que cubra estos temas, preferiblemente con algunas pruebas, aplicaciones físicas y énfasis en la intuición geométrica? Tomé un curso de introducción al análisis real, pero ningún otro curso superior de matemáticas.
Lo primero que debe decirse es que la pregunta no es lo suficientemente específica: ¿Aplicaciones para qué está buscando exactamente? Para mí, un libro sobre geometría algebraica y simetría especular, y cómo se relaciona con la simetría especular tal como la conocen los físicos, es muy relevante e interesante. Sin embargo, tengo la sensación de que esto no es exactamente lo que estás buscando.
Por lo tanto, me limitaré principalmente a "cosas básicas", que parecen relevantes para cualquier persona realmente interesada en, por ejemplo, física de alta energía (en el lado teórico de las cosas, obviamente), sin asumir que el lector está realmente interesado en cosas avanzadas. Sin embargo, incluiré una sección de libros "especializados", donde se incluyen algunos temas más esotéricos y/o difíciles, así como libros que se enfocan completamente en una rama específica de la física (por ejemplo, la relatividad general), en lugar de desarrollar la general. herramientas matemáticas.
Finalmente, tenga en cuenta que estoy omitiendo textos introductorios estándar para topología y geometría si siento que el texto no está realmente dirigido específicamente a aplicaciones físicas, ya que hay tantos que incluso con este criterio estricto quedan suficientes. Aquí vamos (en orden alfabético ):
Baez & Muniain - Teorías de gauge, nudos y gravedad
Libro interesante que desarrolla las matemáticas junto con las teorías físicas relevantes: el primer capítulo trata sobre E&M y las nociones matemáticas relevantes, como las formas, el segundo capítulo trata sobre la teoría de calibre, tanto desde la perspectiva física como matemática, y el último capítulo trata sobre relatividad general y geometría lorentziana.
Bleecker - Teoría de calibre y principios de variación
Comienza con un tratamiento muy breve del cálculo tensorial, haces de fibras, etc., pasando rápidamente a temas físicos como los campos de Dirac, la unificación (de campos de calibre) y la ruptura espontánea de la simetría.
Bredon - Topología y Geometría
Después de ver el mensaje agregado por QuanticMan, solicitando respuestas para no rehuir ir más allá de las intenciones del OP y recomendar libros con intuición geométrica, este libro me vino a la mente de inmediato. En el prefacio, Bredon afirma:
Si bien la mayor parte de este libro está dedicada a la topología algebraica, intento brindarle al lector algunos vistazos del hermoso e importante reino de las variedades uniformes en el camino, e inculcar el principio de que las herramientas algebraicas están destinadas principalmente a la comprensión de el mundo geométrico.
Esto parece encajar perfectamente en el proyecto de ley, y puedo recomendarlo personalmente. Tenga en cuenta, sin embargo, que es un libro puramente sobre matemáticas: no se presentan aplicaciones a la física, aunque las herramientas, por supuesto, también son relevantes en la física.
Burke - Geometría diferencial aplicada
Comienza con unas 200 páginas de herramientas matemáticas (desde tensores hasta formas) y luego profundiza en las aplicaciones: desde la ecuación del calor hasta los campos de medición y la gravedad.
Cahill - Matemáticas Físicas
Este es un libro realmente básico, que hace mucho más que solo topología y geometría: comienza con álgebra lineal, dedica mucho tiempo a las ecuaciones diferenciales y eventualmente llega a, por ejemplo, formas diferenciales.
Fecko - Geometría diferencial y grupos de mentiras para físicos
Desarrolla la teoría básica de las variedades (no se centra en la topología) y, finalmente, trata una serie de temas que incluyen la mecánica clásica (geometría simpléctica), la teoría de gauge y los espinores. También hay un conjunto (mucho más corto) de notas de conferencias de Fecko sobre el mismo tema.
Frankel - La geometría de la física: una introducción
Este es un gran libro que cubre una gran cantidad de grupos matemáticamente, pero en realidad no se enfoca en las aplicaciones físicas. Los temas incluyen formas diferenciales, geometría de Riemann, paquetes, espinores, teoría de calibre y grupos de homotopía.
Gilmore - Grupos de mentiras, física y geometría
Subtitulado "Una introducción para físicos, ingenieros y químicos", este libro podría ser un buen punto de partida para alguien que realmente solo está interesado en temas más simples y con los pies en la tierra. Incluye un capítulo sobre "átomos hidrogénicos", que suena interesante.
Hamilton - Teoría matemática de calibre: con aplicaciones al modelo estándar de física de partículas
Asistí personalmente a las conferencias del profesor Hamilton, correspondientes a aproximadamente las primeras 450 páginas de este libro, y puedo dar fe de que todo en este libro se presenta con gran cuidado. Puede ser un poco abrumador para alguien que realmente solo quiere centrarse en las aplicaciones físicas, pero muchos de los detalles técnicos del material de fondo que a menudo se omiten en otros textos se presentan aquí en su totalidad. La segunda parte se centra en las aplicaciones físicas, principalmente a las teorías de calibre clásicas. El texto asume cierta familiaridad básica con las variedades, pero no mucho más.
Isham - Geometría diferencial moderna para físicos
Un "libro introductorio estándar" sobre geometría diferencial, traducido al lenguaje de los físicos. Isham tiene cuidado de señalar dónde se utilizan las nociones matemáticas que introduce en la física, lo cual es bueno para aquellos que prefieren no perder de vista la relevancia física de todo esto. Cubre todos los conceptos básicos hasta paquetes de fibra en unas 300 páginas.
Jost - Geometría y Física
Llega rápidamente a temas más avanzados, como espacios de módulos, espinores y supervariedades (todo dentro de las primeras 100 páginas) en la primera parte, dedicada a las matemáticas. La segunda parte está dedicada a la física e incluye, por ejemplo, modelos sigma y teoría de campos conformes.
Mishchenko & Fomenko - Un curso de geometría diferencial y topología
Aunque este es más o menos un libro de "introducción general" del tipo que dije que no incluiría, he decidido violar esa regla. Este libro es ruso y, en mi opinión, el estilo de los libros de texto rusos es muy físico e interesante para los estudiantes de física. Además, el libro no se centra ni en la geometría diferencial ni en la topología, sino que cubre ambas (brevemente), lo que también es bueno para los estudiantes de física.
Naber - Campos de topología, geometría y calibre (dos volúmenes)
El primer volumen tiene un lindo capítulo motivacional que presenta nociones avanzadas (lamentablemente, esas suelen ser las que resultan ser relevantes en física), y primero analiza la homología y la homotopía (¿en orden inverso?) antes de pasar a las variedades y paquetes. (¡¿también en orden inverso?!), terminando con la teoría de calibre (física). El segundo volumen cubre temas más avanzados como las clases de Chern.
Nakahara - Geometría, Topología y Física
El libro de referencia para los prerrequisitos matemáticos, por ejemplo, la teoría de calibre, la teoría de cuerdas, etc. si le pregunta al 90% de los físicos. Personalmente creo que es terrible porque no explica nada correctamente, pero supongo que es bueno aprender palabras de moda.
Nash & Sen - Geometría y topología para físicos
Este libro no es muy físico, pero parece muy bueno si realmente estás tratando de dominar bien las matemáticas. Toma su tiempo (adecuadamente, espero) desarrollar toda la teoría en orden: se introducen los grupos fundamentales, la homología, la cohomología y los grupos de homotopía superior, antes de que se traten los haces de fibras y luego la teoría de Morse y los defectos (topológicos) (!!) . El capítulo final trata sobre las teorías de Yang-Mills, analizando los instantones y los monopolos.
Von Westenholz - Formas diferenciales en física matemática
Después de unas 400 páginas de matemáticas preparatorias (que incluyen, además de los temas estándar, la teoría de Frobenius y las foliaciones, ¡lo cual es bueno!), el libro trata la mecánica clásica y la física relativista (incluida la mecánica de fluidos), cada una en unas 50 páginas.
Booss & Bleecker - Topología y análisis: la fórmula del índice de Atiyah-Singer y la física teórica de calibre
Tema avanzado --- muy analítico, con mucha información sobre operadores diferenciales elípticos.
Cartan - Teoría de los espinores
No pude resistir poner esto: El clásico original sobre espinores, por el propio descubridor. Un poco anticuado (por ejemplo, en notación) y, por lo tanto, probablemente no sea muy útil para los estudiantes modernos.
Deligne et al. - Quantum Field and Strings: A Course for Mathematicians (dos volúmenes)
Los dos volúmenes abarcan unas 1500 páginas, con contribuciones de famosos matemáticos y físicos por igual (Deligne, Witten...). Cubre muchos temas avanzados de física desde una perspectiva matemática e incluye ejercicios.
Dunajski - Solitones, Instantones y Twistors
Debido a que el OP menciona solitones, pensé que podría ser interesante mencionar esto: se supone que se conocen la topología y la geometría básicas, y se cubren muchos temas físicamente interesantes (como monopolos, torceduras, espinores en variedades, etc.)
Levi-Civita - El Cálculo Diferencial Absoluto
Otro clásico, y uno de los primeros libros sobre análisis tensorial.
Nash - Topología diferencial y teoría cuántica de campos
Este libro parece fascinante para aquellos que realmente están tratando de adentrarse en las partes más difíciles de la teoría de calibre. Los temas cubiertos incluyen teorías de campos topológicos (nudos invariantes, homología de Floer, etc.), anomalías y teoría de campos conformes.
O'Neill - Geometría semi-riemanniana con aplicaciones a la relatividad
Un conocido libro de texto sobre los fundamentos matemáticos de la relatividad general.
Sachs & Wu - Relatividad general para matemáticos
Igual que el libro anterior.
Ward & Wells - Geometría de Twistor y teoría de campo
Este libro está completamente dedicado a la teoría de los twistores: la última parte trata sobre las aplicaciones a la teoría de gauge.
Si desea aprender topología al por mayor, recomendaría el libro de Munkres, "Topología", que va bastante lejos en términos de material introductorio.
Sin embargo, en términos de lo que podría ser útil para la física, recomendaría:
Personalmente, no he leído mucho de Nakahara, pero he oído hablar bien de él, aunque presuponga demasiados conceptos. He leído selecciones de Naber y parece bastante bien escrito y comprensible y comienza desde los primeros principios, pero nuevamente, puede que no se centre tanto en los fundamentos, si eso es lo que está buscando.
Para un texto nuevo, conciso y muy completo con aplicaciones a muchos campos de la física, consulte Topología diferencial y geometría con aplicaciones a la física, por Nahmad-Achar (IOP Publishing). Este libro presenta, de manera concisa y directa, el formalismo matemático apropiado y los fundamentos de la topología diferencial y la geometría diferencial junto con aplicaciones esenciales en muchas ramas de la física.
No se apresure ramanujan, primero aprenda métodos matemáticos básicos (por ejemplo, de "Física matemática" de Sadri-Hassani). Entonces, la referencia estándar para que aprendas matemáticas de nivel de posgrado sería "Geometría, topología y física" de Nakahara. Si crees que es demasiado, tienes razón; Este es un tema avanzado muy serio. Pero si desea elegir rápidamente algunas ideas básicas, consulte el décimo capítulo de la "Teoría cuántica de campos" de Ryder . Una discusión avanzada y físicamente orientada se encontraría en "Aspects of Symmetry" de Coleman.
usuario4552