¿Cuál es el método para encontrar los vectores de red recíprocos en esta red 2D?

Considere una red rectangular en dos dimensiones con vectores de red primitivos ( a , 0 ) y ( 0 , 2 a ) .

¿Cuáles de los siguientes son vectores de red recíprocos para esta red?

(a) π a ( 1 , 1 2 )

(b) π a ( 1 , 2 )

(C) π a ( 2 , − 1 )

(d) π a ( 0 , 2 )

(mi) π a ( 1 2 , − 2 )

Entonces tenemos

a → 1 = a i ^
y
a → 2 = 2 a j ^
y
a → 3 = k ^
ya que voy a usar la fórmula tridimensional para los vectores de celosía recíprocos:

b → 1 = 2 π a → 2 × a → 3 a → 1 ⋅ ( a → 2 × a → 3 ) , b → 2 = 2 π a → 3 × a → 1 a → 1 ⋅ ( a → 2 × a → 3 ) , b → 3 = 2 π a → 1 × a → 2 a → 1 ⋅ ( a → 2 × a → 3 )

Para una red 2D, me dijeron que

Si desea utilizar la definición 3D con los productos cruzados para deducir la b → vectores, elige a → 3 = k ^ .

Esto es algo que me dijo mi profesor y está en mis notas de clase.

Así que empiezo por calcular

a → 2 × a → 3 = | i ^ j ^ k ^ 0 2 a 0 0 0 1 | = 2 a i ^ , a → 3 × a → 1 = | i ^ j ^ k ^ 0 0 1 a 0 0 | = a j ^ , a → 1 × a → 2 = | i ^ j ^ k ^ a 0 0 0 2 a 0 | = 2 a 2 k ^

Sustituyendo estos resultados en la fórmula de los vectores reticulares recíprocos se obtiene

b → 1 = 2 π 2 a i ^ a i ^ ⋅ ( 2 a i ^ ) , b → 2 = 2 π a j ^ a i ^ ⋅ ( 2 a i ^ ) , b → 3 = 2 π 2 a 2 k ^ a i ^ ⋅ ( 2 a i ^ )
Desde i ^ 2 = unidad, y todos los denominadores son idénticos; en la simplificación esto da
b → 1 = 2 π 2 a i ^ 2 a 2 , b → 2 = 2 π a j ^ 2 a 2 , b → 3 = 2 π 2 a 2 k ^ 2 a 2
y entonces

b → 1 = 2 π a i ^ , b → 2 = π a j ^ , b → 3 = 2 π k ^

Sé b → 3 = 2 π k ^ no puede ser válida ya que las opciones en la pregunta no contienen un z componente. Pero ese es el primer problema, lo otro es que la única combinación de b → 1 y b → 2 puedo hacer es

π a ( 2 , 1 )
que no corresponde a ninguna de las opciones de la pregunta.

Las dos respuestas correctas son (c) y (d).

¿Podría alguien explicarme cómo encontrar vectores de celosía recíproca?

Respuestas (1)

Ya casi has llegado. Cualquier vector reticular recíproco se puede escribir como v → = metro b → 1 + norte b → 2 , dónde metro y norte son números enteros. Conectando lo que obtuviste para b → 1 y b → 2 , usted obtiene v → = π a ( 2 norte , metro ) . Entonces, el primer elemento es un número entero par (las respuestas a, b, e son incorrectas) y el segundo elemento es un número entero (la respuesta a es incorrecta).

Tenga en cuenta que la forma más fácil de calcular sus vectores de red recíproca es a → i ⋅ b → j = 2 π d i j

Gracias por tu respuesta, siento haber tardado un poco en responder. Usted menciona que "la forma más fácil de calcular sus vectores de red recíprocos es a → i ⋅ b → j = 2 π d i j ". Así que si elijo a → 1 = a i ^ y escribió a i ^ ⋅ b → 1 = 2 π d i j . con un desconocido b → 1 como procederia? ¿Podría mostrarme en su respuesta cómo calcular vectores de celosía recíprocos de esta manera? Muchas gracias.
b → 1 = ( X , y ) . Entonces a → 1 ⋅ b → 1 = a X . Esto significa X = 2 π / a . Si a → 2 = ( 0 , 2 a ) entonces a → 2 ⋅ b → 1 = 2 a y = 0 entonces y = 0 . haces lo mismo vor b → 2
¿Cuál es el método para encontrar los vectores de red recíprocos en esta red 2D?
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