¿Singularidad de la descomposición de Helmholtz?

Con condiciones de contorno adecuadas, la descomposición es única. Sin ellos, no lo es.

Suponer que$(\phi,{\bf G})$y$(\phi',{\bf G}')$son dos descomposiciones diferentes para la misma función. Después

$$\nabla(\phi-\phi')+\nabla\times({\bf G}-{\bf G}')=0.$$ Tome la divergencia de ambos lados para encontrar que $$\nabla^2(\phi-\phi')=0.$$ Entonces, para dos descomposiciones distintas cualesquiera, el campo escalar $\phi$debe diferir por una función armónica $f$(es decir, uno con $\nabla^2f=0$). Además, cualquier función armónica funcionará, es decir, habrá una manera de elegir un ${\bf G}'$ir junto con esto $\phi'$. Para ver esto, tenga en cuenta que tenemos que elegir ${\bf G}'$satisfacer $$\nabla\times({\bf G}'-{\bf G})=\nabla f.$$ El lado derecho de esta expresión no tiene divergencias (porque es $\nabla^2f$), y cualquier campo vectorial sin divergencia se puede expresar como el rotacional de algún otro campo vectorial sin divergencia, por lo que ${\bf G'}-{\bf G}$existe

(Un par de apuntes: Este último hecho es el que nos permite definir el vector potencial para un campo magnético dado, específicamente en coulombómetro. Para ser honesto, no recuerdo la prueba de que existe una función${\bf G}$cuyo rizo es${\bf B}$para cualquier divergencia libre${\bf B}$. Recuerdo cómo lo demuestras, habiendo obtenido tal${\bf G}$, puede hacerlo sin divergencias: simplemente reste$\nabla q$donde$\nabla^2q=\nabla\cdot{\bf G}$. El nuevo${\bf G}$tendrá el mismo rizo que el anterior y estará libre de divergencias.

Otra cosa: surgen complicaciones si el dominio que estamos considerando no está simplemente conectado. digamos que lo es).

Entonces, la respuesta es que, para que la descomposición sea única, debe imponer condiciones de contorno lo suficientemente fuertes para que no existan funciones armónicas. Para un dominio compacto sin límite (como la superficie de una esfera), no necesita ninguna condición de límite: no hay funciones armónicas no constantes en dichos dominios. (Prueba hábil de esto: puede probar que las funciones armónicas nunca tienen máximos o mínimos locales, pero una función no constante en dicho dominio debe tenerlos; en particular, debe tener un máximo global y un mínimo global en alguna parte).

Para una región compacta con límite, debe especificar$\phi$o el componente normal de$\nabla\phi$en el límite Para un buen espacio infinito antiguo, debe especificar que$\phi$acercarse a cero (o alguna otra función dada) a medida que tiende a una distancia infinita.

Es fácil comprobar que sin tales condiciones límite, se mete en problemas. Por ejemplo, tome las funciones

$$\phi=x, {\bf G}=z\hat{\bf j}.$$ dan lugar a $${\bf H}=\nabla\phi+\nabla\times{\bf G}=\hat{\bf i}-\hat{\bf i}=0.$$ Entonces, este par se puede agregar a cualquier descomposición de Helmholtz sin cambiar el campo vectorial original.