Esta pregunta surgió debido a mi primera pregunta Interpretación de los campos vectoriales como derivaciones en física . El punto aquí es: si alguna fuerza es conservativo, entonces hay algún campo escalar cual es el potencial para que podamos escribir .
Eso está bien, dice que la fuerza es un covector, pero el punto es: cuando comenzamos a pensar en espacios curvos, en general, en lugar de hablar de gradientes y covectores, hablamos de derivadas exteriores y formas únicas.
Mi pregunta entonces es: si una fuerza es conservativa con potencial entonces es correcto representar la fuerza por la forma única obtenida por la derivada exterior del potencial, en otras palabras, la forma ?
En segundo lugar, si la fuerza no es conservativa, ¿es correcto pensar en ella como una forma todavía? Pero ahora, ¿cuál es la interpretación?
Traté de dar esta interpretación: supongamos que estamos tratando con una variedad y supongamos que es un gráfico de coordenadas. Después abarca el espacio cotangente, y así, si interpretamos alguna fuerza en el punto como alguna forma entonces tendremos utilizando la convención de suma.
Ahora si tomo un poco de vector podemos calcular , sin embargo, y por lo tanto y entonces mi conclusión es: si interpreto la fuerza en un punto como una forma en el punto, entonces será una forma que, cuando se le da un vector, da el trabajo realizado para mover una partícula en la dirección del vector dado.
Entonces, si una fuerza varía de un punto a otro, podría representarla como un campo de una sola forma que se puede integrar a lo largo de algún camino para encontrar el trabajo total realizado.
¿Alguien puede responder esos puntos y decirme si mi conclusión es correcta?
Para entender qué es un campo de fuerza newtoniano, echemos un vistazo a la segunda ley de Newton.
El campo de fuerza termina siendo un mapa.
Dejar
Después
La última ecuación es el equivalente de la condición de semi-spray y nos dice que estamos tratando con un campo de segundo orden.
porque los paquetes y son naturalmente isomorfos - en coordenadas, simplemente cambiamos los componentes - podemos representarlo como una forma diferencial en , que es solo el diferencial de la función de Lagrange (la ecuación de Euler-Lagrange son ecuaciones newtonianas de movimiento).
Ahora, el espacio de los campos de fuerza newtonianos no viene con una estructura de espacio vectorial natural, sino con una estructura afín. Debe especificar una fuerza cero, una fuerza de inercia, para convertirlo en uno. Tal fuerza puede ser dada, por ejemplo, por el rocío geodésico de la relatividad general.
Una vez hecho esto, puede representar el campo de fuerza como una sección del paquete de retroceso dónde . Este es un campo de covector dependiente de la velocidad, que de hecho puede integrar o derivar de una función potencial (en caso de independencia de la velocidad).
Ahora, para aquellos que no se sientan cómodos con este nivel de abstracción, probemos un enfoque más práctico:
Geométricamente, la aceleración está dada por . Sin embargo, ese espacio tiene una estructura incorrecta: si sumamos dos aceleraciones que actúan sobre la misma partícula, terminamos con , que ya no es una aceleración válida.
Lo que queremos en cambio son vectores. o en el caso de aceleraciones dependientes de la velocidad, y una receta de cómo llegar a nuestra aceleración original, ya que eso es lo que ocurre en nuestra ecuación de movimiento.
Así que supongamos que nuestra aceleración es independiente de la velocidad y está representada por . Al levantar el vector verticalmente en , llegamos a . Lo que 'falta' es el componente horizontal .
Aunque tal elevación horizontal parece trivial en coordenadas, no es una operación 'natural' en geometría diferencial. Puede solucionar esto de dos maneras obvias, ya sea proporcionando una conexión (es trivial ver cómo funciona esto si adopta el enfoque geométrico debido a Ehresmann) o especificando manualmente la aceleración 'cero' debido a la inercia.
La pregunta que queda por responder es por qué estamos usando fuerzas en lugar de aceleraciones, o formulado de otra manera, ¿por qué nos movemos al espacio cotangente?
Desde el punto de vista de la geometría diferencial, una respuesta a esa pregunta es porque queremos trabajar con potenciales, que son objetos menos complicados, y la diferencial produce covectores en lugar de vectores.
Otro punto a considerar es que , y son naturalmente isomorfos, mientras que no es. Estos isomorfismos conducen a varias formulaciones (más o menos) equivalentes de mecánica analítica, incluido el enfoque newtoniano, lagrangiano y hamiltoniano.
Disculpas por ampliar el alcance de la pregunta; siéntete libre de ignorar estas divagaciones;)
Hubo una discusión bastante larga sobre si la fuerza es naturalmente un vector o un covector en los foros de física: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=666861 .
Si defines el impulso como "aquello que está conjugado con la posición", entonces el impulso es un covector. Es decir, si tienes un Lagrangiano, entonces:
Entonces, la fuerza se puede interpretar como . O bien, puede definir la fuerza directamente desde el Lagrangiano como:
Combinado con el argumento sobre el trabajo que proporcionó, donde , parece muy convincente que la fuerza deba interpretarse naturalmente como un covector.
Todo lo que dijiste es correcto. Si una fuerza no es conservativa, todavía tiene sentido como una forma 1, aunque no sea exacta.
Nótese también que la condición para una fuerza determinada localmente por un potencial se puede escribir como de modo que para alguna funcion por el lema de Poincaré.
De manera más general, tenemos potenciales en forma de p al que asociamos intensidades de campo en forma p+1 . Por ejemplo, en electromagnetismo (¡otra vez!) podemos combinar los potenciales vectorial y escalar en una forma de 1 en el espacio-tiempo (3+1=4) y el tensor de intensidad de campo resultante es este .
qmecanico