¿Sobre qué estados actúan los operadores de creación y aniquilación?

El espacio de Fock se define como la suma directa de todos norte -espacios de Hilbert de partículas H norte

F = H 0 ⊕ H 1 ⊕ H 2 ⊕ . . .

¿Actúan los operadores de creación y aniquilación (en segunda cuantización) sobre estados de Fock o sobre estados que son elementos del norte -espacios de Hilbert de partículas H norte ?

Editar:

Para ser más precisos acerca de mi pregunta: Deje | Ψ 2 ⟩ ser un estado, que describe dos partículas y es por lo tanto un elemento de H 2 . Hasta donde yo entiendo, | Ψ 2 ⟩ no es un estado de Fock, ya que un estado general de Fock se vería así: | Ψ ⟩ = | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ | Ψ 2 ⟩ ⊕ . . .

Ahora me pregunto si los operadores de creación y aniquilación actúan sobre norte -espacios de Hilbert de partículas, tales como H 2 o sobre elementos de todo el espacio Fock.

En el primer caso C † : H norte → H norte + 1 debe ser válido, mientras que en el segundo caso C † : F → F debería ser cierto

Solo me interesa sobre qué objetos actúan estos operadores.

Pueden operar sobre cualquier estado, es decir, sobre cualquier elemento de todo el espacio de Hilbert.
¿Tengo razón al suponer que cada uno de los H norte solo contiene un elemento? Sin embargo, el espacio de Hilbert también contiene todas las superposiciones posibles de todos los diferentes elementos. Por lo tanto, no es realmente válido escribirlo como una suma directa.
No, H norte se supone que es el espacio de Hilbert de norte partículas y por lo tanto contiene todas las posibles norte -estados de partículas.
Está bien, pero luego necesita algunos otros grados de libertad para distinguirlos, lo que no es evidente en su notación.

Respuestas (1)

Cada H norte es un subespacio del espacio de Fock, como puedes identificar | Ψ norte ⟩ ∈ H norte con 0 ⊕ … ⊕ | Ψ norte ⟩ ⊕ 0   ⊕ . . . ∈ F

La forma en que los operadores de creación C † se definen generalmente es el siguiente: definir primeros operadores C norte † : H norte → H norte + 1 y, por linealidad, definir un C † : F → F por :

C † ( | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ … ⊕ | Ψ norte ⟩ ⊕ … ) = 0 ⊕ ( C 0 † | Ψ 0 ⟩ ) ⊕ ( C 1 † | Ψ 1 ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( C norte † | Ψ norte ⟩ ) ⊕ …

Editar: dado un operador O : F → F , podemos definir sus restricciones O metro : H metro → F por :

O metro | Ψ metro ⟩ = O ( 0 ⊕ 0 ⊕ … ⊕ | Ψ metro ⟩ ⊕ 0 ⊕ … ) ∈ F

En general, O metro | Ψ metro ⟩ no mentirá en nadie H norte (es decir, no será de la forma 0 ⊕ … ⊕ | Ψ norte ⟩ ⊕ … , como fue el caso de O = C † ). Sin embargo, podemos definir operadores O       metro norte : H metro → H norte por :

O metro | Ψ metro ⟩ = ( O       metro 0 | Ψ metro ⟩ ) ⊕ ( O       metro 1 | Ψ metro ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( O       metro norte | Ψ metro ⟩ ) ⊕ …

Por linealidad tenemos:

(1) O ( | Ψ 0 ⟩ ⊕ | Ψ 1 ⟩ ⊕ … ⊕ | Ψ norte ⟩ ⊕ … ) = ( ∑ metro O       metro 0 | Ψ metro ⟩ ) ⊕ … ⊕ ( ∑ metro O       metro norte | Ψ metro ⟩ ) ⊕ …

Por el contrario, dada una familia de operadores O       metro norte : H metro → H norte , ecuación ( 1 ) define un operador O : F → F .

¿Ocurre lo mismo con cualquier otro operador, por ejemplo, el hamiltoniano?
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