¿Cuál es la analogía de |x⟩|x⟩|x\rangle en la teoría cuántica de campos?

Question

¿Cuál es la analogía de |x⟩|x⟩|x\rangle en la teoría cuántica de campos?

usuario26143

Permítanme comenzar con la formulación de la integral de trayectoria en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. En QM, tenemos

\begin{matrix} (1) & tu (X_{b}, X_{a}; T) = ⟨ X_{b} | tu (T) | X_{a} ⟩ = \int D q {mi}^{i S} \end{matrix}

$U(x_b,x_a;T) = \langle x_b | U(T) |x_a \rangle= \int \mathcal{D}q e^{iS} \tag{1}$

| x_{a} ⟩

$|x_a \rangle$ es un estado propio del operador de posición

\hat{x}

$\hat{x}$ .

En QFT tenemos

\begin{matrix} (2) & tu (ϕ_{b}, ϕ_{a}; T) = ⟨ ϕ_{b} | tu (T) | ϕ_{a} ⟩ = \int D ϕ {mi}^{i S} \end{matrix}

$U(\phi_b,\phi_a;T) = \langle \phi_b | U(T) |\phi_a \rangle= \int \mathcal{D}\phi e^{iS} \tag{2}$

| ϕ_{a} ⟩

$| \phi_a \rangle$ es un estado propio del operador de campo

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ .

Por analogía con QM, es tentador relacionar

\begin{matrix} (3) & | ϕ ⟩ \leftrightarrow | X ⟩ \end{matrix}

$|\phi \rangle \leftrightarrow |x \rangle \tag{3}$

Sin embargo, en QFT de Peskin y Schroeder, p24, al calcular se dice

$\begin{matrix} (2.42) & ⟨ 0 | ϕ (X) | pag ⟩ = {mi}^{i pag \cdot X} \end{matrix}$ $\langle 0 | \phi(\mathbf{x}) | \mathbf{p} \rangle = e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \tag{2.42}$ Podemos interpretar esto como la representación del espacio de posición de la función de onda de una sola partícula del estado $| \mathbf{p} \rangle$ , al igual que en la mecánica cuántica no relativista $\langle \mathbf{x} | \mathbf{p} \rangle \propto e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}$ es la función de onda del estado $|\mathbf{p}\rangle$ .

Basado en la declaración citada, parece

\begin{matrix} (4) & \hat{ϕ} (X) | 0 ⟩ \leftrightarrow | X ⟩ \end{matrix}

$\hat{\phi}(x) | 0 \rangle \leftrightarrow | x \rangle \tag{4}$

Si las relaciones (3) y (4) son correctas, debería haber

\begin{matrix} (5) & \hat{ϕ} (\hat{ϕ} | 0 ⟩) = ϕ (X) (\hat{ϕ} | 0 ⟩) \end{matrix}

$\hat{\phi} ( \hat{\phi} | 0 \rangle ) = \phi(x) ( \hat{\phi}| 0 \rangle ) \tag{5}$ parece la Ec. (5) no es correcto. Al menos no puedo derivar la Ec. (5).

¿Cómo reconciliar las analogías (3) y (4)?

zzz

No está claro lo que estás tratando de escribir con eq. 5, como estas definiendo

ϕ

$\phi$ sin sombrero?

usuario26143

Quiero decir

\hat{ϕ} (x_{1}) | ϕ_{1} ⟩ = ϕ_{1} (x_{1}) | ϕ_{1} ⟩

$\hat{\phi}(x_1) | \phi_1 \rangle = \phi_1(x_1) | \phi_1 \rangle$ , sin sombrero es el valor propio del operador de campo.

zzz

Entendido. No

\hat{ϕ} | 0 ⟩

$\hat\phi|0\rangle$ no es un vector propio de

\hat{ϕ}

$\hat\phi$ . Puede ver esto, por ejemplo, escribiendo

\hat{ϕ}

$\hat\phi$ en términos de operadores de creación y aniquilación, luego compare

\hat{ϕ} | 0 ⟩

$\hat\phi|0\rangle$ contra

{\hat{ϕ}}^{2} | 0 ⟩

$\hat\phi^2 |0\rangle$ , y observe que uno no es múltiplo escalar del otro. Entonces, como sospechabas, eq. 5 no es correcto.

usuario26143

Gracias. Entonces

⟨ 0 | \hat{ϕ} (x) | p ⟩

$\langle 0 | \hat{\phi}(x) | p \rangle$ es solo una analogia de

⟨ x | p ⟩

$\langle x | p \rangle$ . no implica _

\hat{ϕ} (x) | 0 ⟩

$\hat{\phi}(x) | 0 \rangle$ es un estado propio de

\hat{ϕ} (x)

$\hat{\phi}(x)$ de todos modos.

zzz

Sí, eso es correcto.

Cosmas Zachos

Su problema se aborda y resuelve en 312006 , después de que se resuelve el problema del oscilador, 292899 . Esencialmente, necesita conectar el estado |x> al vacío de Fock |0>, bastante factible, pero no trivial, de ninguna manera.

Respuestas (2)

¿Cuál es la analogía de |x⟩|x⟩|x\rangle en la teoría cuántica de campos?

No está claro lo que estás tratando de escribir con eq. 5, como estas definiendo $\phi$ sin sombrero?
Quiero decir $\hat{\phi}(x_1) | \phi_1 \rangle = \phi_1(x_1) | \phi_1 \rangle$ , sin sombrero es el valor propio del operador de campo.
Entendido. No $\hat\phi|0\rangle$ no es un vector propio de $\hat\phi$ . Puede ver esto, por ejemplo, escribiendo $\hat\phi$ en términos de operadores de creación y aniquilación, luego compare $\hat\phi|0\rangle$ contra $\hat\phi^2 |0\rangle$ , y observe que uno no es múltiplo escalar del otro. Entonces, como sospechabas, eq. 5 no es correcto.
Gracias. Entonces $\langle 0 | \hat{\phi}(x) | p \rangle$ es solo una analogia de $\langle x | p \rangle$ . no implica _ $\hat{\phi}(x) | 0 \rangle$ es un estado propio de $\hat{\phi}(x)$ de todos modos.
Su problema se aborda y resuelve en 312006 , después de que se resuelve el problema del oscilador, 292899 . Esencialmente, necesita conectar el estado |x> al vacío de Fock |0>, bastante factible, pero no trivial, de ninguna manera.

zzz · Answer 1

No $\hat\phi|0\rangle$ no es un vector propio de $\hat\phi$ . Puede ver esto, por ejemplo, escribiendo $\hat\phi$ en términos de operadores de creación y aniquilación, luego compare $\hat\phi|0\rangle$ contra $\hat\phi^2|0\rangle$ , y observe que uno no es múltiplo escalar del otro. Entonces, como sospechabas, eq. 5 no es correcto
Para obtener alguna analogía de $| x\rangle$ , puedes simplemente tomar una transformada de Fourier de $a^\dagger(p)$ Llegar $a^\dagger(x)$ , y $a^\dagger(x)|0 \rangle \equiv |x \rangle$ es la mejor analogía de $|x \rangle$ que puedo pensar

$a^\dagger(x)|0\rangle$ no es analogo a $|x\rangle$ , sino al primer estado propio excitado de algún hamiltoniano (como $a^\dagger(x)|0\rangle=|1\rangle$ para el QHO ). El análogo QFT de los estados propios de posición $\hat x |x\rangle=x|x\rangle$ son los estados propios del campo $\hat\phi(x)|\phi\rangle=\phi(x)|\phi\rangle$ . Tal como $\hat x$ define la función de onda $\Psi(x)=\langle x|\Psi\rangle$ en gestión de calidad, $\hat \phi$ define el funcional de onda $\Psi[\phi]=\langle\phi|\Psi\rangle$ en QFT.

yuggib · Answer 2

Puede utilizar la construcción de la $Q$ espacio, como se describe en Reed y Simon vol.2, página 228-230.

Simplificando demasiado, puedes hacer la analogía $\lvert \phi\rangle \sim \lvert x\rangle$ , pero el impulso asociado no es $\hat{p}$ , pero $\hat{\pi}$ (el momento canónico conjugado del campo $\hat{\phi}$ ).

Con un poco más de precisión: el espacio de Fock es isomorfo a un $L^2$ espacio donde $\hat{\phi}$ actúa como la multiplicación por la función $x$ (es una "variable" del $L^2$ espacio), y $\hat{\pi}$ como la derivada (funcional) $-i\frac{\delta}{\delta x}$ ; y en este contexto se pueden definir las "funciones propias" (no pertenecen a la $L^2$ obviamente) $\lvert\phi\rangle$ y $\lvert\pi\rangle$ con el significado habitual como funciones propias de posición y momento (de dimensión infinita). La construcción precisa se detalla en la referencia anterior.

@Quantumwhisp mmmh, probablemente no sea exactamente equivalente ya que hay relaciones anticonmutación involucradas. No soy un experto, pero supongo que se necesitan modificaciones importantes, y nunca vi tal cosa para los fermiones (si es que existe)

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