Corrección de un ciclo para una acción efectiva

Question

Corrección de un ciclo para una acción efectiva

Física
integral de trayectoria
teoría de la perturbación
1pi-acción-efectiva
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos

Sayán Mandal

Esta podría ser una pregunta estúpida.

En " Cosmología en la teoría del campo de medida y la teoría de cuerdas " de Bailin y Love , los autores describen cómo calcular el potencial efectivo a una temperatura finita. $T$ (Sección 2.3 , Pág. 42). Inicialmente, comienzan con el tratamiento en temperatura cero.

Comienzan diciendo:

En la teoría cuántica de campos a temperatura cero, el valor esperado $\phi_c$ de un campo escalar $\phi$ (también conocido como el campo clásico) se determina minimizando el potencial efectivo $V(\phi_c)$ . El potencial efectivo contiene un término potencial a nivel de árbol, que se puede leer a partir de la densidad hamiltoniana y las correcciones cuánticas de varios órdenes de bucle.

Puedo entender esto. Sin embargo, continúan afirmando (con $\phi(x)=\phi_c+\tilde{\phi}(x)$ ),

La corrección cuántica de un bucle se calcula desplazando los campos $\phi$ por sus valores esperados $\phi_c$ y aislando los términos $\mathcal{L}_\mathrm{quad}(\phi_c,\tilde{\phi})$ en la densidad lagrangiana que son cuadráticas en los campos desplazados $\tilde{\phi}$ .

Esta es la afirmación sobre la que estoy un poco confundido. ¿Por qué solo aislamos términos que son cuadráticos en el $\tilde{\phi}$ , pero no poderes superiores? Puede haber términos de autointeracción; ¿Estos no contribuyen a la corrección de un bucle?

arturo don juan

Respuesta corta: es solo una aproximación, una aproximación de fase estacionaria/gaussiana. Si tu mantienes

ℏ

$\hbar$ dimensional (es decir

\neq 1

$\neq 1$ ), entonces también se puede demostrar que la expansión es una expansión en potencias de

ℏ

$\hbar$ (es decir, bucles).

Respuestas (2)

Corrección de un ciclo para una acción efectiva

Respuesta corta: es solo una aproximación, una aproximación de fase estacionaria/gaussiana. Si tu mantienes $\hbar$ dimensional (es decir $\neq 1$ ), entonces también se puede demostrar que la expansión es una expansión en potencias de $\hbar$ (es decir, bucles).

knzhou · Answer 1

Este resultado puede verse esquemáticamente. La acción efectiva se calcula sumando los diagramas 1PI. Un término $(\phi_c)^n \tilde{\phi}^m$ en la acción efectiva corresponde a un vértice con $n$ $\phi_c$ piernas, que son el campo clásico externo, y $m$ $\tilde{\phi}$ piernas, sobre las que estamos integrando y, por lo tanto, aparecen en líneas internas.

Un ejemplo de una contribución de un bucle es:

donde he robado descaradamente el gráfico de estas notas de clase . Aquí las líneas punteadas representan $\tilde{\phi}$ piernas y las líneas continuas representan externo $\phi_c$ piernas. Para encontrar la contribución a la $(\phi_c)^n$ término del potencial efectivo, uno debe sumar todos estos diagramas con $n$ externo $\phi_c$ piernas.

Tenga en cuenta que en este diagrama, todos los vértices tienen $m = 2$ , es decir, solo estamos considerando términos cuadráticos en $\tilde{\phi}$ . Puede convencerse dibujando algunos diagramas de que cualquier término de orden superior requeriría más de un bucle. La presencia de términos lineales ( $m = 1$ ) estropearía este conteo, razón por la cual Bailin y Love se expanden sobre el mínimo clásico.

qmecanico · Answer 2

Que la corrección cuántica de un bucle

Exp (\frac{i}{ℏ} Γ_{1 bucle} [ϕ_{C yo}]) \overset{(13)}{=} D mi t {(\frac{1}{i} \frac{d^{2} S [ϕ_{C yo}]}{d ϕ_{C yo}^{k} d ϕ_{C yo}^{ℓ}})}^{- 1 / 2}

$\exp\left(\frac{i}{\hbar}\Gamma_{\text{1-loop}}[\phi_{\rm cl}]\right) ~\stackrel{(13)}{=}~ {\rm Det}\left(\frac{1}{i}\frac{\delta^2 S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\right)^{-1/2}$

\overset{Gauss. En t.}{\sim} \int D \frac{η}{\sqrt{ℏ}} Exp (\frac{i}{2 ℏ} η^{k} \frac{d^{2} S [ϕ_{C yo}]}{d ϕ_{C yo}^{k} d ϕ_{C yo}^{ℓ}} η^{ℓ})

$~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{\sim}~\int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\frac{i}{2\hbar}\eta^k \frac{\delta^2 S[\phi_{\rm cl}]}{\delta \phi_{\rm cl}^k \delta \phi_{\rm cl}^{\ell}}\eta^{\ell} \right)$

= \int D \frac{η}{\sqrt{ℏ}} Exp ({\frac{i}{ℏ} S [ϕ_{C yo} + η] |}_{cuadrático en η})

$~=~ \int\!{\cal D}\frac{\eta}{\sqrt{\hbar}} ~\exp\left(\left.\frac{i}{\hbar} S[\phi_{\rm cl}+\eta]\right|_{\text{quadratic in }\eta} \right)$

a la acción efectiva/adecuada $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$ viene dada por el determinante de la hessiana de la acción $S$ se demuestra, por ejemplo, en la ec. (13) en mi respuesta Phys.SE aquí . Esa prueba se basó en la aproximación de fase estacionaria/WKB, que, a su vez, explica por qué solo las fluctuaciones cuadráticas $\eta$ contribuir.

Gracias por los enlaces muy útiles. Esto lo deja muy claro.

Corrección de un ciclo para una acción efectiva

Sayán Mandal

arturo don juan

Respuestas (2)

knzhou

qmecanico

Sayán Mandal

Confusión sobre el cálculo de la acción efectiva 1PI usando integrales de ruta

¿En qué sentido es la acción propia/efectiva Γ[ϕc]Γ[ϕc]\Gamma[\phi_c] una acción clásica corregida cuánticamente S[ϕ]S[ϕ]S[\phi]?

Prueba de que la acción efectiva/adecuada es la funcional generadora de las funciones de correlación irreducibles de una partícula (1PI)

Expansión de la perturbación de la acción efectiva

¿Definir acción cuántica efectiva / adecuada (transformación de Legendre), existencia de inversa (fuente de campo)?

¿Cómo calcular la acción efectiva cuántica de los diagramas 1PI Feynman?

Si :V(ϕ)::V(ϕ):: V(\phi) : no es local en el espacio, ¿eso significa que la teoría cuántica de campos interactivos no es local?

"Encontrar el Lagrangiano de la teoría"

Derivando la igualdad δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J]δϕ(x)|0⟩δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J] δϕ(x)|0⟩\frac{\delta \Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ delta\phi(x)}|0\rangle?

Equivalencia de cuantización canónica y cuantización integral de trayectoria