En todos los libros de texto y notas de conferencias que he encontrado, escriben la declaración general
Escuché que Coleman tenía una prueba independiente simple para esta declaración (no de forma recursiva), pero no puedo encontrarla. Podría haber estado en la línea de comparar con el expansión pero no estoy seguro.
¿Conoces esta prueba? ¿Hay una buena referencia para ello?
Comentario: Weinberg tiene una prueba completa, pero es difícil y no intuitiva.
Weinberg, QFT 2, en la Sección 16.1 en una nota al pie 2 se refiere a Coleman, Aspects of Symmetry, p. 135-6, que presenta la /expansión de bucle. Véanse también las referencias. 3 y 4 para una idea similar. En esta respuesta proporcionamos un argumento no inductivo en este sentido. Una buena característica de este argumento es que no tenemos que tratar explícitamente con la molesta combinatoria y los factores de simetría de los diagramas de Feynman individuales. Esto ya está cableado en el formalismo.
A) Primero recordemos algunos hechos básicos de la teoría de campos. El clásico (= -independiente) acción
La función de partición/integral de trayectoria es
Observe en la expansión del diagrama (A3) cómo un vértice desnudo viene con -peso ; un propagador desnudo interno viene con -peso ; y una pata externa viene con -peso .
El teorema del cúmulo vinculado establece que la función generadora para diagramas conectados es
A continuación recuerda el /bucle-expansión
ecuaciones (A3) y (A6) rendimiento
ecuación (A9) se da cuenta del hecho de que dado un conjunto finito arbitrario de inserciones de fuentes externas, entonces (la suma de todos los posibles) diagramas de árbol conectados es (la suma de todos los posibles) árboles de propagadores desnudos y vértices desnudos.
Tenga en cuenta que los factores de raíz cuadrada de un ciclo en las ecs. (A3) y (A4) no afectan la fórmula de bucle cero/árbol (A9) y (A8), respectivamente.
Tabla 1: Similitud estructural entre las Secciones A y B.
B) Finalmente, abordemos la pregunta de OP. Considere la acción efectiva/adecuada
A diferencia de la acción clásica (A1), la acción efectiva (B1) depende (implícitamente) de la constante reducida de Planck . Nos gustaría hacer un wrt de expansión de bucle. un nuevo parámetro .
Con este fin, defina una función de partición/integral de trayectoria
Recuérdese que la acción efectiva (B1) es por definición la transformación de Legendre del funcional generador
Debido a la similitud estructural entre dos transformaciones de Legendre (A8) y (B8), cf. Tabla 1, obtenemos un análogo a la ec. (A9):
Por otro lado, dado un conjunto finito arbitrario de inserciones de fuentes externas, entonces (una suma de todos los posibles) diagramas conectados es (una suma de todos los posibles) árboles de propagadores completos y vértices 1PI (amputados), cf. Lema 3.11 en Ref. 5.
Junto con la ec. (B9), concluimos que la acción efectiva es el generador funcional para vértices 1PI (amputados) (y propagador completo inverso ).
Referencias:
S. Weinberg, Teoría cuántica de campos, vol. 2, 1995; Sección 16.1.
S. Coleman, Aspectos de la simetría, 1985; pag. 135-6.
M. Srednicki, QFT, 2007; Capítulo 21. Un archivo PDF preliminar a la publicación está disponible aquí .
D. Skinner , QFT en 0D , pág. 32. (Punta de sombrero: El último caballero de la ruta de la seda ).
P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 notas de conferencias en línea ; Secciones 3.11 y 3.12. (Consejo de sombrero: Abdelmalek Abdesselam .)
R. Kleiss, Pictures, Paths, Particles, Processes, Feynman Diagrams and All That and the Standard Model , notas de conferencias, 2013; apartado 1.5.2.
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Letra pequeña:
Suponga que el generador de diagramas conectados no tiene términos lineales en , para que la acción efectiva no tiene términos lineales en , y asi que es el propagador conexo completo, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .
Aquí la noción de los vértices irreducibles de una partícula (1PI) se define wrt. a propagadores completos , que es equivalente a la noción de vértices 1PI wrt. a los propagadores desnudos , cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.
Si desea una prueba, sugiero leer los trabajos de personas cuyo trabajo es escribir pruebas, también conocidos como matemáticos. El problema principal aquí es tener cuidado con las definiciones combinatorias y el manejo de los factores de simetría. Una descripción matemáticamente limpia pero legible de este teorema combinatorio se encuentra en esta conferencia de Pavel Etingof (ver Teorema 3.10 y Proposición 3.12).
Esto tiene una prueba matemáticamente rigurosa utilizando la teoría de grupos relacionada con grafos. Puede encontrarlo en las notas de la conferencia del MIT IDEAS Y NOCIONES MATEMÁTICAS DE LA TEORÍA DE CAMPOS CUÁNTICOS
En la página 13, el teorema 3.4 tiene la demostración. Para encontrar más detalles útiles de la prueba, puede consultar las notas de la conferencia de Cambridge de David Skinner Advanced Quantum Field Theory . En el primer capítulo, introdujo el llamado -Teoría cuántica de campo dimensional (es decir, integrales gaussianas) y la teoría de grupos que necesita para comprender la prueba de las notas de clase anteriores.
una mente curiosa
dixi
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