Dada una teoría cuántica de campos, para un campo escalar con acción genérica , tenemos la funcional generatriz
La función de un punto en presencia de una fuente es.
La Acción efectiva se define como la transformada de Legendre de
Eso significa que tenemos que invertir la relación
¿Cómo sabemos que la inversa existe? ¿Y existe lo contrario para cada ? ¿Por qué?
Si tratamos la funcional generatriz para diagramas conectados como una serie de potencia formal en las fuentes , y si el propagador conectado
Concretamente, a los órdenes más bajos, si ampliamos
De manera similar, perturbativamente, la transformada inversa de Legendre se convierte en
En este punto parece natural terminar con la siguiente proposición útil.
Proposición. Si
o equivalentemente, si
después:
La función completa de 2 puntos es igual a la función completa de 2 puntos conectada:
cf. ec. (1).
cf. ec. (7).
es el propagador conexo completo, cf. ec. (8).no hay renacuajos en el sentido de que si un solo corte corta un diagrama conectado en 2 partes, entonces ambas partes contienen -fuentes, cf. por ejemplo, Srednicki, QFT , capítulo 9, pág. 67. Esto se deriva del hecho de que (una suma de todos los posibles) diagramas conectados es (una suma de todos los posibles) árboles de propagadores completos y vértices 1PI (amputados), cf. esta publicación Phys.SE.
En particular, los diagramas de vacío conectados son todos diagramas 1PI, cf. ec. (8).
En particular, la energía propia
[que en general consta de diagramas conectados con 2 piernas amputadas de manera que las 2 piernas no se pueden desconectar cortando una sola línea interna] ahora solo consta de diagramas 1PI.La acción efectiva wilsoniana consiste de sólo 1PI términos de acción.
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Usamos la notación condensada de DeWitt para no saturar la notación. Consulte también, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.
Esta es una condición de renormalización estándar. Debido a la conservación de la cantidad de movimiento,
Tenga en cuenta que la noción anterior de diagramas de renacuajo no es lo mismo que los diagramas de bucle automático, cf. Wikipedia .
La condición de renormalización (11) dice en esta situación
Esta es una pregunta interesante, y aunque no sé una respuesta rigurosa, podemos discutir algunos casos típicos.
Por lo general, la inversa existe, pero los casos en los que esta inversa no existe no son necesariamente patológicos (los modelos sólidos pueden tener el problema de que la inversa no existe).
Para las teorías de campo estándar (digamos, , modelos O(N), modelos de espines clásicos, ...), genéricamente existe la inversa, y esto se puede mostrar orden por orden en una expansión de bucle (no sé si esto se ha demostrado en algún orden, pero en libros de texto estándar, esto se muestra para ordenar 1 o 2). Sin embargo, la inversa no existirá necesariamente para todos , especialmente en fases de simetría rota. De hecho, una fase ordenada se caracteriza por
Además, hay casos en los que la inversa simplemente no está definida, porque para todos . Este suele ser el caso cuando el campo no tiene una dinámica independiente sin una fuente. Por ejemplo, si toma un solo giro cuántico a temperatura cero, la única dinámica viene dada por el campo magnético externo (aquí en el dirección)
Abdelmalek Abdesselam