En mecánica clásica, ¿se puede pensar en el Lagrangiano como una métrica?

¡En parte sí y en parte no! Esta es una buena idea, pero su realización particular no funciona. La razón es porque su expresión no es correctamente coordinada invariante.

Por ejemplo, la acción de una partícula puntual relativista con trayectoria$x^\mu(\tau)$es

$$S = \int \sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}} d\tau.$$ Si volvemos a escalar el $\tau$coordinar, la acción sigue siendo la misma, como debería, ya que $\tau$es simplemente un parámetro arbitrario; el $d\tau$los factores claramente se cancelan. Pero en tu caso no hay raíz cuadrada; en cambio, su término cinético es algo así como $$S = \int \frac12 \frac{dq^i}{d\tau} g_{ij} \frac{dq^j}{d\tau} \, d\tau, \quad g_{ij} = m \delta_{ij}.$$ Aquí el $d\tau$'s no se cancelan, por lo que la acción cambia si cambia la escala $\tau$. Solo obtienes la respuesta correcta en el caso especial. $\tau = t$, que es lo que usaste. Esta acción se deriva esencialmente de la relativista de expansión de Taylor, que arruina el significado geométrico.

¡Sin embargo, es cierto que la física newtoniana, no relativista, puede formularse geométricamente! El formalismo se llama teoría de Newton-Cartan . Dado que estamos trabajando de manera no relativista, no hay razón para unificar el espacio y el tiempo. En cambio, postulamos un tiempo absoluto y un espacio absoluto, con una métrica$g_{ij}$. Luego definimos una conexión compatible con esta métrica, y las rutas de partículas son geodésicas con respecto a esta conexión.