Derivando la acción y el Lagrangiano para una partícula puntual masiva libre en Relatividad Especial

1. Sí, la invariancia de la acción se deriva de la relatividad especial, y la relatividad especial es correcta (no solo) porque se verifica experimentalmente. Todas las ecuaciones de movimiento pueden derivarse de la condición$\delta S = 0$, la acción es estacionaria (lo que generalmente significa que tiene el valor mínimo en la trayectoria/historial permitido entre todas las trayectorias/historias con las mismas condiciones iniciales y finales). Si$S$dependía del sistema inercial, también lo harían los términos en las ecuaciones$\delta S =0$, y estas leyes de movimiento no podrían ser covariantes de Lorentz (observe cómo se escribe este Lorentz; Lorenz también existió pero era un físico diferente). En general, no debe pensar en la "derivación de la acción". Cuando trabajamos con la acción, lo hacemos porque vemos la acción como la expresión más fundamental, y derivamos todo lo demás de ella. En ese contexto, más o menos definimos una teoría invariante de Lorentz como una teoría determinada por una acción invariante de Lorentz.

2. Su integral es invariante de Lorentz pero no es invariante traslacionalmente bajo$x^\mu \to x^\mu + a^\mu$. Entonces no es invariante de Poincaré (la simetría de Poincaré unifica las transformaciones de Lorentz y las traslaciones del espacio-tiempo) y debido a esta violación, también decimos que no está de acuerdo con las leyes de la relatividad especial. También puede crear otras expresiones, por ejemplo, reemplazar$x_\mu x^\mu$en la integral por alguna curvatura extrínseca invariante de la línea universal, etc. Esos términos podrían hacerse invariantes de Poincaré. Entonces, la afirmación correcta es que la longitud adecuada de la línea universal es el único funcional invariante de Poincaré que no depende de ninguna derivada superior de las coordenadas.$x^\mu(\tau)$.

En SR las ecuaciones tienen la misma forma en todos los marcos inerciales. Esto implica que la acción de una partícula libre es la mostrada por L&L.

Para mayor comodidad, tomemos el tiempo adecuado.$s$de la partícula masiva como variable de integración en la acción, con un Lagrangiano dado por$L=L(x^\mu,\dot{x}^\mu,s)$, dónde$\dot{x}^\mu=dx^\mu/ds$. Tenemos que demostrar que$L=-a$(constante).

El formalismo lagrangiano implica que, cambiando las coordenadas$x^\mu \rightarrow x'^\mu$, las ecuaciones de movimiento obtenidas del Lagrangiano$L=L'(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$, considerado como una nueva función de las nuevas coordenadas, son equivalentes a las ecuaciones de movimiento (las ecuaciones de Euler-Lagrange) para las coordenadas antiguas.

En el caso de una transformación de coordenadas de Poincarè, las nuevas ecuaciones describen el movimiento en un nuevo marco de referencia y SR requiere que tengan la misma forma que las antiguas ecuaciones. Como es habitual en el formalismo lagrangiano (como se explica en la Mecánica de L&L), esto es posible si$L'(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$difiere de$L(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$por la derivada de una función de las coordenadas y el tiempo propio,

Es evidente en esta ecuación que en el antiguo marco de referencia$\dot{F}(x^\mu,s)=0$. Como las antiguas coordenadas inerciales no son especiales, SR requiere que$\dot{F}'(x'^\mu,s)=0$en el nuevo marco inercial (arbitrario). De este modo,$L(x^\mu,\dot{x}^\mu,s)=L(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$, lo que significa que el Lagrangiano y la acción son invariantes.

Como esta ecuación es válida para cualquier traslación espacio-tiempo constante$x^\mu \rightarrow x'^\mu=x^\mu+a^\mu$,$L$no depende de$x^\mu$. El argumento de L&L implica que$L$no depende de$\dot{x}^\mu$(ya que$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu=-1$es el único escalar que se puede construir). Finalmente,$L$no depende de$s$porque el tiempo es uniforme para una partícula libre. Por lo tanto,$L=-a$es una constante

No obstante, nótese que L&L muestra en su libro que$\dot{F}(x^\mu)$aparece en el Lagrangiano de una partícula cargada en ausencia del campo eléctrico y del campo magnético (una partícula libre en el sentido clásico),

donde el potencial de 4 vectores$A_\mu$es un "calibre puro",

para un escalar$\chi$.

De hecho, las transformaciones de calibre introducen$\dot{F}$en su Lagrangiano de la partícula cargada interactuando con el campo EM sin cambiar las ecuaciones de movimiento.