Simetrías cuánticas: ¿SSS o ZZZ?

Dejar yo ser la acción de algún QFT (medida fija e incluyendo todos los contratérminos necesarios); S la matriz de dispersión asociada; y Z la función de partición (en forma de, digamos, una integral de trayectoria). Hay tres nociones de simetrías que se discuten típicamente,

  1. Simetrías de acción, es decir, transformaciones de la forma. ϕ → ϕ ′ que se van yo invariante,
  2. S -simetrías matriciales, es decir, operadores que (super)conmutan con S , y
  3. Simetrías cuánticas, es decir, transformaciones de la forma ϕ → ϕ ′ que dejan la forma de volumen mi yo [ ϕ ] d ϕ invariante.

Es un fenómeno bien conocido que las simetrías de yo no tiene por qué estar de acuerdo con los de ninguno de los dos S ni Z (por ejemplo, anomalías, SSB, etc.). Lo que no está tan claro es si S simetrías y Z las simetrías son equivalentes. lo que quiero saber es si

Para cada simetría de S hay una simetria de Z y viceversa

o un contraejemplo. Si la equivalencia es realmente cierta, me gustaría tener una declaración más o menos precisa, en forma de teorema (al nivel habitual de rigor en los libros de texto de física).

No hacer trampa por favor. Los contraejemplos solo son válidos para QFT de la "vida real" (por ejemplo, en una teoría libre todo conmuta con S pero no todo sale Z invariante; este no es un contraejemplo válido porque es completamente trivial). Tampoco TQFT. Gracias.

Alguien mencionó en los comentarios la acción efectiva. Γ [ ϕ ] , que se define como la transformada de Legendre de Iniciar sesión ⁡ Z . No quería traer este objeto a la imagen, porque quería dejar a la discreción del resto de usuarios si mencionar o no este objeto. En principio, no necesito respuestas para analizar las simetrías de este objeto, pero pueden hacerlo si creen que puede ser útil. En cualquier caso, déjame subrayar que Γ no es el mismo objeto que yo .

Si consideras la acción cuántica yo (que parece ser así ya que incluye contratérminos), entonces, por supuesto, contendrá en su mayoría las mismas simetrías que S y Z .
En retrospectiva, debería haber llamado al primer tipo de simetrías "simetrías lagrangianas". Así, el título podría haber sido "L, S o Z" :-P
Las traslaciones no son simetrías lagrangianas, sólo simetrías de la acción.
@ArnoldNeumaier Era más una broma (como en "fórmula de reducción LSZ"). Es cierto que no es muy gracioso...
Mi punto era que el chiste es demasiado tonto debido a la falta de correspondencia fatal del lenguaje subyacente.
Bueno, ahí va el siempre presente voto negativo silencioso. Supongo que a alguien no le gustó la pregunta. Oh bien...

Respuestas (2)

La gente a veces habla de simetrías en el caparazón: simetrías de las ecuaciones de movimiento o la matriz S, que no se mantienen fuera del caparazón (es decir, al nivel de la acción, integral de trayectoria, correladores, etc.). Transformaciones de dualidad eléctrico-magnética

F → porque ⁡ ( θ ) F − pecado ⁡ ( θ ) ⋆ F ⋆ F → pecado ⁡ ( θ ) F + porque ⁡ ( θ ) ⋆ F
son un ejemplo de esto. Estas transformaciones dejan invariantes las ecuaciones de movimiento y la matriz S (con una regla de selección correspondiente), por lo que calificarían como una simetría.

Sin embargo, esta simetría suele romperse por efectos no perturbadores (p. ej., monopolos), a los que la matriz S habitual es insensible. Además, es bien sabido que las dualidades no son simetrías de la teoría completa, sino que se entienden mejor como un cambio en nuestra descripción de la física. Por ejemplo, las transformaciones de dualidad relacionan la función de partición de la teoría en diferentes valores del acoplamiento (consulte este artículo para ver un ejemplo).

Gracias, esto es interesante. Tendré que pensar sobre eso. Por ahora, ¿puedes aclarar cómo funciona la dualidad eléctrico-magnética a nivel de la S -¿matriz? ¿Existe algún operador que genere esta simetría, [ q , F ] = θ ⋆ F , que viaja con S ?
Sí, hay un operador de carga. q que se da como la integral de una "corriente" que es la forma 3 de Chern-Simons. Escribo comillas alrededor de la corriente porque no es invariante de calibre. Sin embargo, solo cambia por una derivada total bajo una transformación de calibre, por lo que q está bien definido. Este operador conmuta con S y proporciona una regla de selección del tipo de "conservación de carga" habitual.
Es confuso, pero creo que está mal pensar en una dualidad como una redundancia. En valores autoduales especiales de las constantes de acoplamiento, realmente tiene nuevas simetrías en la teoría. No se miden automáticamente. Tomar R → 1 / R dualidad de un bosón compacto en 2d como ejemplo. En el radio dual propio, la simetría se mejora a S tu ( 2 ) .
@RyanThorngren sí, es cierto, suceden muchas cosas especiales en puntos fijos. ¿Pero no es eso más allá del punto? que es encontrar un ejemplo de una simetría de la matriz S que no es una simetría de la teoría completa. Según tengo entendido, este es el caso de este tipo de teorías que se alejan de los puntos autoduales en el espacio de los módulos.
¿Puede dar una referencia para la afirmación de que S-matrix no es sensible a los efectos no perturbadores?
@jpm Solo estoy comentando porque dijiste "es bien sabido que las dualidades no son simetrías de la teoría completa, sino que se entienden mejor como un cambio en nuestra descripción de la física", que es la diferencia entre los puntos autodual tener una simetría adicional o simplemente una simetría de calibre.
@PeterKravchuk, por supuesto, esto no es cierto en una teoría general, pero nuevamente estamos tratando de encontrar un ejemplo. Ahora, por "matriz S habitual" me refiero a la definida como un residuo de un correlador de operadores locales en un fondo trivial. Hay documentos muy antiguos ( este o este ) que argumentan que los monopolos arruinarían la analiticidad si se trataran dentro del formalismo de matriz S. (Continúa abajo)
Por supuesto, la solución podría ser cambiar a la descripción dual, donde los monopolos se convierten en cuantos de campo y podría haber una matriz S bien definida para ellos. Admito que esto es un poco complicado ya que estamos tratando de pensar en la dualidad como una simetría de la matriz S. Déjame saber lo que piensas.

Creo que una simetría en Z implica perturbativamente una simetría en S, ya que la matriz S perturbativa se puede calcular a partir de la acción efectiva (que está directamente relacionada con Z) de una manera directa que no deja espacio para romper una simetría.

Es cuestionable que se cumpla lo contrario, ya que ni siquiera está claro si la matriz S determina la acción.

Gracias. Re. tu primer párrafo: Yo también lo creo. Pero el propósito de esta publicación era tener una declaración más precisa más allá de "Creo que debería funcionar". Re. su segundo párrafo: de hecho, el S matriz no determina la acción, y eso hace que la pregunta no sea trivial. Pero en principio es perfectamente válido que cualquiera que sea la acción , si S tiene una simetría entonces también la tiene la acción. La realización real de la simetría en el nivel de la acción depende de la acción misma, por supuesto. Pero, ¿está ahí o no es necesario?
Bueno, por un lado, di razones que probablemente se pueden convertir en una prueba al nivel habitual de rigor de la física teórica. Pero no he visto el problema discutido en la literatura y, lamentablemente, no tengo suficiente tiempo para trabajar en los detalles. - Para la otra dirección, admito que su pregunta tiene sentido, pero la falta de unicidad hace que una apuesta positiva sea muy arriesgada.
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