En las integrales funcionales de Feynman, ¿por qué integramos la acción sobre todo el tiempo?

Question

En las integrales funcionales de Feynman, ¿por qué integramos la acción sobre todo el tiempo?

acción
Física
integral de trayectoria
teoría de la matriz s
teoría cuántica de campos

zooby

Digamos que la definición de un propagador en la teoría cuántica de campos es:

{GRAMO}_{F} (X, y) = \int ϕ (X) ϕ (y) {mi}^{i S [ϕ]} D ϕ

$G_F(x,y)=\int \phi(x)\phi(y) e^{i S[\phi] } D\phi$

dónde $S$ es la acción. ¿Por qué integramos la densidad lagrangiana de $t=-\infty$ a $t=+\infty$ en lugar de de $x_0$ a $y_0$ ?

es decir

S [ϕ] = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} L (X, y, z, t) d X d y d z d t

$S[\phi] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\cal{L}}(x,y,z,t)dxdydzdt$

dónde $\cal{L}$ es la densidad lagrangiana. Seguramente nos interesa sólo el tramo entre $t=x_0$ y $t=y_0$ ?

Respuestas (2)

En las integrales funcionales de Feynman, ¿por qué integramos la acción sobre todo el tiempo?

Seid oscuro · Answer 1

Respuesta corta (suponiendo un orden de tiempo adecuado de $x$ y $y$ ):

⟨ Ω | ϕ (X) ϕ (y) | Ω ⟩ = \frac{⟨ 0 | tu (- \infty, X^{0}) ϕ_{I} (X) tu (X^{0}, y^{0}) ϕ_{I} (y) tu (y^{0}, + \infty) | 0 ⟩}{⟨ 0 | tu (- \infty, \infty) | 0 ⟩}

$\langle \Omega| \phi(x) \phi(y) | \Omega\rangle = \frac{ \langle 0 | U(-\infty, x^0) \phi_I(x) U(x^0, y^0) \phi_I(y) U(y^0, +\infty) |0 \rangle }{\langle 0 | U(-\infty, \infty) | 0 \rangle }$

Estos infinitos también tienen que estar en la integral de acción.

Ahora bien, hay una razón bastante profunda para que el tiempo vaya al infinito en la integral de trayectoria (el mérito de esto es de Weinberg y su increíble libro , como de costumbre). Los propagadores suelen tener chistes $i \epsilon$ en denominadores, como:

\frac{1}{q^{2} + {metro}^{2} - i ϵ}

$\frac{1}{q^2 + m^2 - i \epsilon}$

Lo que hace posible la integración sobre $q$ y ayuda a seleccionar el polo adecuado con el teorema del residuo.

Aunque por lo general se asume y se omite en el cálculo, este $i \epsilon$ proviene de las fases del campo en el tiempo $\pm \infty$ :

⟨ Ω, o tu t | ϕ (\infty) ⟩ ⟨ ϕ (- \infty) | Ω, i norte ⟩ \propto {mi}^{ϵ \times \dots pares de campos}

$\langle \Omega,out| \phi(\infty) \rangle \langle \phi(-\infty) | \Omega, in \rangle \propto e^{\epsilon \, \times \, \cdots \text{pairs of fields} }$

para algunos infinitesimales $\epsilon$ .

(Tenga en cuenta que en la teoría de interacción es posible calcular este producto de proyecciones solo en $t = \pm \infty$ , porque se supone que la teoría es libre en este momento.)

Dado que este producto es proporcional a la forma exponencial - el producto de $\epsilon$ ¡y los pares de campos se fusionarán con la acción! Esta es la razón para tener $\epsilon$ en el propagador.

(Puede encontrar más detalles en el Capítulo 9 del Volumen 1 de QFT de Weinberg )

Gracias, es un poco demasiado conciso para mí! La esencia parece ser que tienes que empezar con el vacío en la distancia del pasado y el futuro.
@zooby Así es, la razón física de esto es que el estado de vacío de una teoría que interactúa no es lo mismo que el estado de vacío de la teoría libre correspondiente. Están cerca en el pasado y el futuro distantes, cuando las "partículas" que interactúan están bien separadas y los términos de interacción son pequeños, pero no idénticos.
En el contexto de los diagramas de Feynman, la diferencia entre el vacío interactivo y el vacío libre se explica descartando ciertos diagramas (por ejemplo, los no amputados) y agregando varios factores de normalización; en otras palabras, la fórmula de reducción LSZ.
Asi es $G(x,y)$ ¿No es realmente la amplitud para que una partícula vaya de x a y, sino la amplitud para que una partícula entre desde un pasado distante, pase por x e y y se vaya al futuro lejano?
Esta es una interpretación interesante! Sin embargo, por lo general sucede al revés. Tienes que evolucionar el vacío desde $-\infty$ donde se supone que es igual a $|0 \rangle$ a la hora en que aplica operador. ¡Las aspiradoras que interactúan y las que no interactúan son diferentes!

qmecanico · Answer 2

Este es un tema común en la física: si tiene una separación de escalas características en el problema, los efectos físicos asociados con las escalas subdominantes pueden ignorarse.

Por ejemplo, en $S$ En la teoría de matrices, a menudo se supone por simplicidad que las interacciones pueden despreciarse cerca de los tiempos inicial y final. $t=t_i$ y $t=t_f$ , y que el intervalo de tiempo $[t_i,t_f]$ es mucho mayor que todas las escalas temporales características de las interacciones.

En otras palabras, si no estamos interesados en estudiar los efectos de los límites temporales, también podríamos enviar $t_i\to -\infty$ y $t_f\to \infty$ para simplificar el problema.

Y también (para ser completamente honesto) este es el único régimen en el que sabemos cómo calcular el $S$ operador de forma perturbativa para un QFT interactivo, ¿verdad?

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