Electromagnetismo y cálculo vectorial

Antes del vector

Antes de que se introdujera el cálculo vectorial, se deben considerar algunos puntos de referencia para comprender la historia del vector. Estos son:

1. números complejos y su interpretación geométrica
2. El trabajo de Leibniz sobre la geometría de la posición.
3. la representación del paralelogramo de la fuerza y ​​la velocidad

El primero se remonta a Ars Magnala publicación de Cardan en 1545, ya que el tipo fue el primero en introducir raíces de números negativos por sí mismos. Uno tiene que esperar dos siglos antes de presenciar la aprobación de esta extraña escritura.

Leibniz, en una carta a Huygens, expresa la voluntad de dar a la posición una expresión matemática, como la tiene la amplitud. Esto es exactamente de lo que se trata el análisis vectorial, ¿verdad? Desafortunadamente, no sé cuál fue la respuesta de Leibniz a su propia pregunta.

Ahora vamos a citar a un genio.

"Un cuerpo, sobre el que actúan dos fuerzas simultáneamente, describirá la diagonal de un paralelogramo al mismo tiempo que describiría los lados por esas fuerzas por separado".

Newton en 1678, no tenía la idea de un vector, pero esto parece la suma de dos vectores, ¿verdad?

Entre 1799 y 1828, tres parejas de dos autores trabajaron simultánea e independientemente en la geometría de los números complejos. Wessel y Gauss en 1799 escribieron de forma independiente sobre cómo representar la dirección analíticamente, Buéé y Argand continuaron en 1806 con interpretaciones geométricas para números complejos, y Warren y Mourey publicaron en 1828 extensos libros que describían tales representaciones.

Pasando a 3-D: el cuaternión

Hamilton (nos estamos acercando al electromagnetismo) publicó un artículo filosófico en 1837 en el que expresa su esperanza de llegar a una "teoría de tripletes" para describir la geometría tridimensional. En 1843 finalmente se le ocurrió una operación de multiplicación en lo que ahora se conoce como cuaterniones. Estaba muy contento con eso y pasó el resto de su vida escribiendo sobre cuaterniones.

Hamilton (otra vez él) introdujo en un artículo posterior (1846) los términos escalar y vector, para describir las partes real e imaginaria de sus cuaterniones. La parte vectorial del producto de cuaterniones de dos cuaterniones puramente vectoriales es igual al opuesto de lo que se conoce como producto vectorial/punto, y la parte escalar es lo que ahora se conoce como producto vectorial.

Hamilton murió pero dejó un sucesor en su causa, Tait. Tait publicó numerosos artículos sobre cuaterniones, incluida una descripción extensa del uso del operador Nabla, lo que le valió el elogio de Maxwell como el "Músico principal de Nabla".

Maxwell, o respondiendo a la pregunta original

En 1873, Maxwell publicó su Treatise on Electricity and Magnetism, un artículo que tuvo un gran impacto en la ciencia del siglo XIX. En este artículo, Maxwell presenta muchos de sus resultados no solo en la forma cartesiana habitual en ese momento, sino también en sus formas cuaterniónicas. Maxwell defendió y promocionó el uso de cuaterniones, no solo como una herramienta práctica (parecía estar más cómodo con la geometría cartesiana), sino como una forma más efectiva de pensar cantidades relacionadas con el espacio.

Por lo que sé, Maxwell no contribuyó en nada al cálculo vectorial, pero su respaldo a los entonces elogiados, pero no utilizados, cuaterniones en un artículo innovador permitió que el cálculo vectorial se convirtiera en un objeto generalizado en la física. El análisis vectorial moderno (post-Hamilton) se basa principalmente en el trabajo de Gibbs y Heaviside a principios del siglo XX, pero Maxwell seguramente contribuyó mucho al cálculo vectorial usándolos en lo que es, quizás, el artículo más leído del siglo XIX. .

Esta respuesta se basa tanto en la estructura como en el contenido de una charla que los invito a leer, ya que es un escrito muy entretenido/informativo.

El artículo original de 1864 de James Clerk Maxwell, " Una teoría dinámica del campo electromagnético ", contenía toda la electrodinámica en forma de 20 ecuaciones no vectoriales en 20 variables.

Después de este documento, se hicieron esfuerzos para convertir estas ecuaciones en una forma más sistemática. En aquellos tiempos, los cuaterniones algebraicos eran el único instrumento matemático disponible para ese fin. JC Maxwell intentó trabajar con cuaterniones, pero no tuvo mucho éxito. De todos modos, tales esfuerzos fueron considerados simplemente por la belleza del gesto, porque la teoría completa ya estaba disponible en el artículo original de Maxwell.

Eventualmente, Josiah Gibbs y Oliver Heavyside propusieron el análisis vectorial, y lo que hoy se llama "Ecuaciones de Maxwell" es de hecho una reformulación de Oliver Heavyside de las ecuaciones originales propuestas por JC Maxwell. Hasta aquí la parte de ingeniería de la historia.

Por otro lado, rara vez se ha notado que los cuaterniones son la "raíz cuadrada" de una identidad numérica algebraica: la identidad de 4 cuadrados de Leonhard Euler:

El cuadrado de este producto es,

y con lo siguiente

Tenemos la identidad de 4 cuadrados de Leonhard Euler:

La electrodinámica que usa cuaterniones tiene así la ventaja de estar respaldada metafísicamente por una identidad numérica algebraica: todo se conserva bajo tal transformación.

Otra ventaja es la formulación fácil y transparente. el gradiente,$\delta\times A$, del vector potencial$A$no es una forma de 2, sino un vector, como se esperaba de una cantidad física que se supone que representa una fuerza o un movimiento, que tiene una dirección en el espacio:

Bajo el calibre de Lorenz, la primera línea se desvanece de manera idéntica y las líneas restantes producen el campo electromagnético en la fuente.$(E/c)$y$\operatorname{curl} (B)$:

La fuente y el rizo son las dos partes de una doble rotación isoclínica de 4 dimensiones alrededor de un punto; siendo un cuaternión un operador para realizar operaciones generales isoclínicas de doble rotación y estiramiento en un espacio de 4 dimensiones.

La plaza$(\delta\times A) \times (\delta\times A)''$es igual a$(E⁄c)^2 + B^2$, es decir, no hay términos mixtos que impliquen$E$y$B$, porque ambas partes de una doble rotación isoclínica son ortogonales entre sí.

Según la biografía de William Rowan Hamilton de Thomas Hankin, Michael Faraday se reunió con Hamilton en Dublín en 1834. Faraday es famoso por sus experimentos electromagnéticos y leyó sobre las ideas de campo de Boscovich. Los experimentos de Faraday le sugirieron que podían explicarse mejor mediante la idea de los campos. Faraday se dio cuenta de que el tratamiento de campo debe involucrar geometría y análisis numérico. Hamilton era conocido como un genio matemático y Faraday lo convenció de la necesidad de un álgebra geométrica.

A Hamilton le llevó 9 años, en 1843 se le ocurrieron los cuaterniones y en 1844 los bicuaterniones (cuaterniones complejos) [actas de la Royal Irish Academy]. Maxwell usó cuaterniones aprendiendo de su amigo de la infancia Peter Guthrie Tait. Maxwell le escribió a Tait que quería dejar que los cuaterniones "leudaran el electromagnetismo", [Michael Crowe History of Vector Analysis] Desafortunadamente, Maxwell murió joven de cáncer y Electromagnetism fue secuestrado por el operador de telégrafo Oliver Heaviside, quien odiaba los cuaterniones, titulando una de las secciones de su libro " Sobre la abstrusión de los cuaterniones y las ventajas que se obtienen al ignorarlos". Heaviside con la ayuda de J. Willard Gibbs, truncó el cuaternión para hacer un análisis vectorial.

Ludwik Silberstein fue el primero en publicar la versión de (bi)cuaternión de la Ecuación de Maxwell, donde los 4 Maxwell están escritos como una ecuación de bicuaternión en el mismo artículo en el que dio la transformación de Lorentz del cuaternión [L.Silberstein "The Quaternion form of Relativity", Philosophical Magazine, 1913] La forma de cuaternión de la ecuación de Dirac fue descubierta por Cornelius Lanzcos en 1929.

William Rowan Hamilton inventó el operador Del o Nabla cuando trabajaba con cuaterniones. Véase https://books.google.com/books?id=iuoZSkSOBQsC&pg=PA142&dq=%22William+Rowan+Hamilton%22+and+Nabla&hl=en&sa=X&ei=u78_VaGAGsWEsAWevoGoCg&ved=0CDkQ6AEwBA

Heaviside y Gibbs, de forma independiente, prácticamente inventaron el análisis vectorial para establecer claramente los principales resultados de la teoría de Maxwell. Así que tu amigo tiene razón. Sin embargo, hubo una serie de precursores que complican esta simple historia, por lo que no completamente.

Cuando Maxwell publicó por primera vez sus ecuaciones, había veinte ecuaciones con casi tantas incógnitas. Reconociendo que sin un marco más transparente, su teoría tendría pocos seguidores (como señaló Freeman Dyson, para su perplejidad) y reescribió la teoría usando cuaterniones, pero esto no estimuló el interés.

Solo después de que Gibbs y Heaviside reformularon la teoría, el interés comenzó a aumentar rápidamente. La declaración tradicional de las ecuaciones en los libros de texto es Heavisides, por lo que a veces se les llama ecuaciones de Heaviside-Maxwell.

Sin embargo, los precede un matemático irlandés llamado Matthew O'Brien, quien entre 1847 y 1852 publicó siete artículos sobre formulaciones vectoriales de la mecánica y anticipó muchos de los resultados posteriores de Gibbs. Él, a su vez, se inspiró en el descubrimiento de los cuaterniones de Hamilton mientras buscaba una versión en 3D de los números complejos. También se debe crédito a Hermann Grassmann, quien presentó una forma muy general de álgebra lineal, más o menos inventando el tema, en su libro Una teoría de la extensión . Desarrolla las nociones de independencia lineal y dimensión entre otras ideas.

Liebniz merece crédito por reconocer el valor de una geometría que no requiere coordenadas y, en cierto modo, devolvernos a la geometría sintética de Euclides. Pero él mismo no pudo encontrar nada de sustancia sólida. Se inauguró un concurso para estimular los intentos de encontrar un marco adecuado que Grassmann ganó debidamente.

La perspicacia de Liebniz fue notable, ya que subyace a la noción de invariancia y covarianza en geometría que más tarde adoptaron los físicos. Y tenemos muchas geometrías que normalmente toman la posición directamente sin mencionar las coordenadas. Por ejemplo, variedades, espacios topológicos, espacios métricos, espacios afines y, por supuesto, espacios vectoriales.