¿Cómo definir el inverso de un vector?

La mayoría de las situaciones físicas en mecánica se pueden modelar usando una combinación de derivadas, específicamente, derivadas de posición: velocidad y aceleración. Pero las situaciones físicas también se pueden modelar de otras maneras. Considere la ecuación escalar para la velocidad en una dimensión:

$v = \frac{dx}{dt}$

también puede ser modelado por una cantidad diferente, llamada "lentitud", que se describe como:

$s = \frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$

Que se utiliza comúnmente en la vida cotidiana. Por ejemplo, los corredores suelen medir la distancia en minutos por milla o minutos por km. Los caminantes van tan lentos que no tiene sentido medir la velocidad en millas/hora o una unidad similar, sino decir que tardan ~20 minutos por milla. Sin embargo, esto rara vez, si es que alguna vez, se usa en física.

Para modelar la lentitud físicamente, hay algunas cosas básicas que debe saber. En primer lugar, cuando queremos sumar velocidades, se suman bastante bien. Si me paro encima de un camión de caja plana y corro a 5 m/s mientras el camión va a 10 m/s (sin tener en cuenta la relatividad especial), mi velocidad total es 5+10=15 m/s. Para una lentitud, tenemos que aprovechar este hecho para descubrir cómo "sumar" lentitud.

Sabemos$v_1+v_2=v_t$, Así que si$s_1=\frac{1}{v_1}$y$s_2=\frac{1}{v_2}$y$s_t=\frac{1}{v_t}$entonces$\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}=\frac{1}{s_t}$y por lo tanto:

$\frac{1}{\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}}=s_t$

definiendo una operación asociada con esto (llamada "oplus" - discutida en detalle aquí ):

$x \oplus y := \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

y su inversa ("ominus")

$x \ominus y := \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}} = x \oplus (-y)$

tenemos

$s_1 \oplus s_2 = s_t$,

así que mientras las velocidades se suman, las lentitudes se oponen.

Parece que la lentitud no se mide fácilmente en forma de vector, aunque representa la misma cantidad física que la velocidad y, por lo tanto, tiene tanto magnitud como dirección.

La versión vectorial de la lentitud debería (creo) cumplir tres requisitos:

1. Conservar la dirección (apuntar en la misma dirección que el vector de velocidad)
2. Invertir magnitud (la magnitud de la lentitud debe ser 1/velocidad)
3. Independencia de coordenadas (la lentitud en la dirección x no afecta la dirección y, etc.)

Solo hay un vector que satisface los dos primeros es el vector$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}$que desafortunadamente tampoco satisface el tercer requisito, porque la magnitud de$\vec{v}$se ve afectada por todas las coordenadas de$\vec{v}$. Por ejemplo, si$\vec{v}=\langle1,2\rangle$entonces$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\langle\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\rangle$pero si$\vec{v}=\langle1,3\rangle$entonces$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|^2}=\langle\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}}\rangle$lo que significa que simplemente cambiar la coordenada y también cambió la coordenada x de la lentitud.

Para preservar la independencia de las coordenadas, así como mantener la coherencia con la definición unidimensional de lentitud, se puede definir un "vector" para la lentitud tomando el recíproco de cada componente. Así que si$\vec{v}=\langle x,y,z\rangle$entonces$\vec{s}=\langle\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\rangle$.

El problema inicial es que parece no preservar la dirección ni invertir la magnitud del vector de velocidad. Sin embargo, requiere cambiar una propiedad vectorial fundamental.

Todo se reduce a cómo medimos la distancia en un sistema de coordenadas y las operaciones que usamos en los vectores. Todos sabemos que los vectores se suman, lo cual tiene sentido ya que la velocidad y la posición hacen lo mismo, y esas cosas se suman cuando son escalares.

Un problema al definir la lentitud como un vector puede ser que la lentitud no satisface las propiedades del vector, ¡incluso en una dimensión! Las lentitudes no suman, oplus (como se muestra arriba).

Entonces, en lugar de definir la lentitud, que es el recíproco de la lentitud, como un vector, ¿por qué no definirla como otra cosa? Algo que es como un vector, pero aprovechando más fácilmente sus propiedades. Por ejemplo, podría ser diferente en la forma en que medimos su magnitud, así como otras propiedades:

Dado$\vec{v}=\langle x,y,z \rangle$

$\frac{1}{\vec{v}} := [x^{-1},y^{-1},z^{-1}]$<-- no es un vector, sino que podría llamarse "vector inverso" o "invector", indicado por corchetes

$|\frac{1}{\vec{v}}| := \sqrt{(\frac{1}{x})^2\oplus(\frac{1}{y})^2\oplus(\frac{1}{z})^2}$

Esto parece comportarse bastante bien, ya que

$|\frac{1}{\vec{v}}|=\sqrt{(\frac{1}{x})^2\oplus(\frac{1}{y})^2\oplus(\frac{1}{z})^2} = \sqrt{\frac{1}{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{|\vec{v}|}$

Lo cual satisface el requisito #2.

A través de esta definición, el requisito #1 también puede cumplirse, siempre que cambiemos la forma en que medimos la distancia. La mayoría de la gente está familiarizada con un gráfico en escala logarítmica. Esto ayuda a visualizar datos que crecen exponencialmente al cambiar la ubicación geométrica de los números en un eje.

En nuestra nueva idea de distancia, trabajaremos con el espacio recíproco (soy consciente de que el término se usa para describir una red cristalina, pero no estoy usando lo mismo aquí). AMBOS ejes x e y (comenzaremos a trabajar en 2 dimensiones) se volverán a escalar de manera que x=1/x y y=1/y. El origen se reemplazará con un solo "punto en el infinito" similar a la geometría proyectiva.

Graficar vectores recíprocos en un espacio que se mide de esta manera satisface el requisito n.º 1: conservar la dirección. Entonces, los tres requisitos se cumplen con esta nueva definición, siempre que digamos que no es un vector y vive en un espacio diferente.

el vector$\langle 2,3 \rangle$(mostrado a la derecha) cuando se grafica en el espacio cartesiano se ve igual que el vector$\langle \frac{1}{2},\frac{1}{3} \rangle$(mostrado a la izquierda) graficado en el espacio recíproco.

Una cosa sorprendente de este espacio es que la suma geométrica de vectores "de la punta a la cola" también se aplica a este nuevo espacio, excepto que corresponde a la opulsión de invectores en lugar de la suma de vectores. Y, suponiendo que esto represente una lentitud, ¡es completamente consistente con la suma vectorial de velocidad!

Definimos (los invectores se denotarán con un *)

dado$\vec{a}* = [a_1,a_2]$y$\vec{b}* = [b_1,b_2]$

$\vec{a}* \oplus \vec{b}* := [a_1 \oplus b_1, a_2 \oplus b_2]$

Por ejemplo:

$\vec{v_1} = \langle x_1,y_1 \rangle$y$\vec{v_2} = \langle x_2,y_2 \rangle$

$\vec{v_1}+\vec{v_2} = \vec{v_t} = \langle x_1+x_2,y_1+y_2 \rangle$

como vector de lentitud, eso sería

$\vec{s_1}* = [\frac{1}{x_1},\frac{1}{y_1}]$y$\vec{s_2}* = [\frac{1}{x_2},\frac{1}{y_2}]$

$\vec{s_1} \oplus \vec{s_2} = \vec{s_t} = [\frac{1}{x_1+x_2},\frac{1}{y_1+y_2}]$

lo cual es consistente porque$\frac{1}{[\frac{1}{x_1+x_2},\frac{1}{y_1+y_2}]} = \langle x_1+x_2,y_1+y_2 \rangle = \frac{1}{\vec{v_t}}$

Usando el hecho de que la suma de vectores es lo mismo que la suma de vectores, es posible demostrar que dado que las longitudes en el espacio recíproco son 1 dividido por sus longitudes geométricas, existe un nuevo teorema de Pitágoras para el espacio recíproco.

$c^2=a^2 \oplus b^2$

porque sabemos que$\frac{1}{length(x)}=x$en el espacio recíproco (donde longitud(x) es la longitud que mide normalmente, si sacó una regla, por ejemplo, y x es la "longitud real") y sabemos que$length(c)^2 = length(a)^2+length(b)^2$

entonces$\frac{1}{c^2} =\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

y

$c^2 =\frac{1}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}} = a^2 \oplus b^2$

lo que explica la ecuación anterior para la magnitud de un invector.

También podemos ver que si usamos la operación inversa de$\oplus$,$\ominus$(o-menos) podemos definir una función de distancia lineal a lo largo de los ejes en una dimensión. Podemos llamar a esta función "cercanía" porque es lo cerca que está un objeto de otro. Una pequeña cercanía es una gran distancia y una gran cercanía es una pequeña distancia (porque son recíprocos).

$closeness(x,y) = c(x,y) := |x \ominus y|$

y para dos dimensiones

$c((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt{(x_1 \ominus x_2)^2 \oplus (y_1 \ominus y_2)^2}$

La fórmula tridimensional es similar.

Podemos ver que bajo esta fórmula de cercanía (distancia) en 1 dimensión, la distancia entre el recíproco de cualquier número entero y el recíproco del siguiente es 1. La distancia entre 1 y 1/2 es$|1\ominus\frac{1}{2}|=1$. La distancia entre 1/2 y 1/3 es 1, la distancia entre 1/3 y 1/4 es 1, y así sucesivamente. La función de distancia aquí es invariante a la traducción: si movemos los ejes, las longitudes de las líneas no cambian.

He eludido sin mencionar el hecho de que la identidad bajo la operación oplus es$\infty$. he encontrado eso$\infty$es una parte integral de este sistema. Funciona efectivamente como cero en el sistema cartesiano.$a\oplus\infty=a\ominus\infty=a$para todo a y en general,$\infty = -\infty$.

Por lo que puedo decir, esto tiene sentido físicamente: un cuerpo con$0$la velocidad tiene$\infty$lentitud. Un cuerpo que tiene$0$distancia entre ella y otra cosa tiene$\infty$cercanía a ella. Se puede encontrar que el invector de aceleración también tiene un significado físico y funciona perfectamente bien en el espacio recíproco.

No he incluido todo lo que he encontrado sobre este sistema, incluido el producto escalar de dos invectores.$(\vec{a}*\cdot\vec{b}*=[a_1\cdot b_1,a_2\cdot b_2])$y cómo se relacionan con las derivadas que describen el movimiento de forma recíproca.

Como un aficionado con solo capacitación en matemáticas de nivel secundario, simplemente me gustaría preguntar, ¿tiene esto algún sentido? ¿Alguien conoce una forma vectorial de describir la lentitud u otras cantidades vectoriales inversas que sea diferente (o igual) de mi propio trabajo? Me gustaría entender cómo se relaciona esto con las matemáticas en general y si mis ideas y mi trabajo son válidos. Un vector generalmente se define como un objeto matemático con magnitud y dirección, pero me parece que, aunque se adapta a este tipo de idea, un vector no puede describir el tipo de objeto con el que estoy tratando aquí. ¿Hay otra forma de hacer esto que ya sea aceptada por la comunidad matemática? ¿Mi trabajo es nuevo o existe en alguna parte? ¿Es posible definir el inverso de un vector? Si los vectores son independientes del sistema de coordenadas, ¿Por qué cambiar al espacio recíproco cambia algo? Básicamente, me gustaría saber más detalles sobre cómo definir el inverso de un vector, en un sentido matemático y físico.