¡Ayuda con Cálculo y Física!

Hay una regla de diferenciación llamada regla de potencia para funciones de ley de potencia que establece que

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n−1}$

Debería poder probar esto usando la definición de derivada (en términos de límites) que ha aprendido. Otra regla es que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de esas funciones individuales (lo que también es fácil de probar). De modo que puede diferenciar cada término en su expresión por separado y sumar los resultados. La única diferencia es que aquí su variable independiente es el tiempo (t) en lugar de x.

Verá, el problema aquí es que la pregunta pide una velocidad en $t=1$. Esto significa que requieren una velocidad instantánea que es, por definición, la derivada de la función de posición en$t=1$. Si por algún motivo no desea utilizar reglas derivadas y no le importa un poco de trabajo adicional, puede calcular la velocidad a partir de un límite. (En realidad, esto es lo mismo que tomar la derivada, como verá más adelante. Una derivada es solo un límite en sí misma).

Para tomar la velocidad instantánea, usamos la fórmula$\overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$. yo suelo$\overline{v}$para denotar la velocidad media . entre tiempo$t$y$t+\Delta$tenemos

$$\overline{v} = \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{\left(3(t+\Delta t)^2 - 12(t+\Delta t)+4\right)-\left(3t^2-12t+4\right)}{\Delta t}$$ Simplificando un poco $$\overline{v} = \frac{6t\Delta t + (\Delta t)^2 -12\Delta t}{\Delta t}$$ Ahora viene el cálculo. Si tomamos el límite como $\Delta t \rightarrow 0$, es decir, si tomamos el intervalo de tiempo cada vez más pequeño para que la velocidad promedio se acerque a la instantánea, entonces la velocidad instantánea $v$es $$v = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{6t\Delta t + (\Delta t)^2 -12\Delta t}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\left(6t-12+\Delta t\right)=6t-12$$ Tenga en cuenta que esta es exactamente la derivada que tenía antes y que los pasos anteriores son, de hecho, un cálculo de la derivada a partir de los primeros principios.

Piénsalo de esta manera. En un$x$versus$t$trama. La pendiente de la recta es la tasa de cambio de$x$con respecto a$t$que está dado por,

$lim \ \Delta t\rightarrow0 \ \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=v$

Para más información, echa un vistazo a esto

http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative