Elección de métrica/topología en RnRn\mathbb{R}^n cuando decimos que una variedad es localmente homeomorfa a ella

Question

Elección de métrica/topología en RnRn\mathbb{R}^n cuando decimos que una variedad es localmente homeomorfa a ella

Shirish Kulhari

Estoy viendo las conferencias de Schuller sobre la gravitación en youtube. Se menciona que el espacio-tiempo se modela como una variedad topológica (con un montón de estructura adicional que no es relevante para esta pregunta).

Una variedad topológica es un conjunto $M$ con una topología $\mathcal{O}_M$ tal que cada punto en $M$ está cubierto por un gráfico $(U,x)$ , dónde $U\in\mathcal{O}_M$ y $x:U\to x(U)\subset\mathbb{R}^n$ es un homeomorfismo. Hasta hablar del mapa $x$ siendo homeomorfos, necesitamos poder hablar sobre conjuntos abiertos en, y por lo tanto, una topología en, $\mathbb{R}^n$ .

El instructor menciona ( ver aquí ) que $\mathbb{R}^n$ se considera que tiene una topología estándar. La topología estándar se define sobre la base de bolas abiertas alrededor de puntos en $\mathbb{R}^n$ . Para definir bolas abiertas necesitamos especificar una métrica en $\mathbb{R}^n$ , y la definición de bolas abiertas en la lección 1 de la serie se dio asumiendo una métrica euclidiana en $\mathbb{R}^n$ , es decir,

B_{r} (pag) = {q \in R^{norte} | ‖ pag - q ‖_{mi} < r}

$B_r(p)=\{q\in\mathbb{R}^n\ |\ \|p-q\|_E<r\}$ dónde

‖ \cdot ‖_{E}

$\|\cdot\|_E$ es la norma euclidiana.

Entonces me pregunto, ¿es necesario asumir la métrica euclidiana? Escuché que el espacio-tiempo curvo se modela como una variedad que localmente parece un espacio-tiempo plano, que se modela como el espacio de Minkowski hasta donde yo sé, que a su vez tiene la métrica de Minkowski.

Si ese es el caso, entonces los gráficos en el espacio-tiempo curvo son localmente homeomorfos a los conjuntos abiertos en el espacio de Minkowski. ¿Tendríamos que definir la topología en $\mathbb{R}^4$ como una variante de la topología estándar en la que las bolas abiertas se definen según la métrica de Minkowski? es decir

B_{r} (pag) = {q \in R^{4} | ‖ pag - q ‖_{METRO} < r}

$B_r(p)=\{q\in\mathbb{R}^4\ |\ \|p-q\|_M<r\}$ dónde

‖ \cdot ‖_{M}

$\|\cdot\|_M$ es la norma de Minkowski correspondiente a la firma métrica

diag (- 1, 1, 1, 1)

$\text{diag}(-1,1,1,1)$ . Me imagino que esto podría ser complicado de definir ya que la métrica de Minkowski no es definida positiva.

Un poco más de elaboración en mi proceso de pensamiento (gracias a Mike Stone por esto): la topología es lo que decide la "cercanía" de los puntos en un conjunto hasta donde yo sé. Entonces, esencialmente , cuando estamos aproximando un pequeño parche de espacio-tiempo curvo por el espacio-tiempo plano de Minkowski , si asumimos una topología estándar caracterizada por la métrica euclidiana, lo que estamos diciendo es: la métrica euclidiana decide la cercanía de los puntos en (localmente aproximado) Espacio de Minkowski .

Esto suena contradictorio porque las consideraciones físicas nos gritan que los intervalos de espacio-tiempo (una medida de la cercanía de los puntos de espacio-tiempo de Minkowski) se miden usando la métrica de Minkowski.

Ideal Máximo

Mi conjetura es que debería haber alguna forma de obtener la topología estándar usando solo la métrica de Minkowski, pero sospecho que no será una forma sencilla.

Shirish Kulhari

@MaximalIdeal: Eso es lo que también sospecho, pero la métrica de Minkowski que no es positiva definitivamente lo hace realmente complicado (si es que es posible)

Respuestas (2)

Elección de métrica/topología en RnRn\mathbb{R}^n cuando decimos que una variedad es localmente homeomorfa a ella

Mi conjetura es que debería haber alguna forma de obtener la topología estándar usando solo la métrica de Minkowski, pero sospecho que no será una forma sencilla.
@MaximalIdeal: Eso es lo que también sospecho, pero la métrica de Minkowski que no es positiva definitivamente lo hace realmente complicado (si es que es posible)

qmecanico · Answer 1

Una variedad pseudo-Riemanniana $(M,g)$ de firma $(r,s)$ es una variedad diferenciable $M$ de dimensión $n=r+s$ equipado con un tensor métrico $g\in\Gamma({\rm Sym}^2T^{\ast}M)$ de firma $(r,s)$ .
Una variedad diferenciable $M$ es una variedad topológica con una estructura diferencial globalmente definida.
Una variedad topológica $M$ de dimensión $n$ es un espacio de Hausdorff localmente euclidiano , es decir, cada punto $p\in M$ tiene un vecindario que es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ .
Nótese en particular que la variedad topológica subyacente $M$ se define independientemente del tensor métrico $g$ (y su firma, estructura causal, curvatura, etc.).
Además, no se debe combinar una métrica $d:M\times M\to [0,\infty[$ en un espacio métrico (en el marco de los espacios topológicos y topología general ) con un tensor métrico $g$ .
Si tratamos de usar un tensor métrico $g$ de firma indefinida para construir una métrica $d$ desde la distancia geodésica , para empezar violaría la propiedad de Hausdorff y posiblemente la no negatividad de $d$ .
Para una variedad lorentziana $(M,g)$ , conjuntos de diamantes de la forma
$I^{+} (pag) \cap I^{-} (q), pag, q \in METRO,$ $I^+(p)\cap I^-(q) , \qquad p,q\in M,$ y sus intersecciones finitas generan todos los conjuntos abiertos $\{G\subseteq M \mid G\in\tau\}$ para la topología localmente euclidiana subyacente $\tau$ . Aquí $I^{\pm}(p)$ es el futuro/pasado cronológico del punto $p\in M$ , respectivamente.

Estoy de acuerdo en que una variedad topológica, en general, no necesita necesariamente una métrica para definirse. Pero estoy hablando específicamente de la topología estándar en $\mathbb{R}^n$ aquí, en el que los conjuntos abiertos se definen como bolas abiertas. Una pelota abierta, por definición, necesita el subyacente $\mathbb{R}^n$ estar equipado con una métrica euclidiana.
Su quinto punto parece abordar la pregunta. ¿Podría dar más detalles sobre eso, si es posible? La métrica se usa (en el caso de la topología estándar) para definir conjuntos abiertos, que a su vez se usan para especificar la continuidad de los mapas. Entonces una curva $\gamma:\mathbb{R}\supset I\to\mathbb{R}^4$ , que corresponde físicamente a la línea de tiempo de una partícula, se puede llamar continuo/no continuo según la topología estándar, que asume una métrica euclidiana. Efectivamente entonces, para afirmar si la línea de tiempo de una partícula es continua o no, estamos ignorando la estructura de Minkowski del espacio-tiempo plano. ¿Es eso correcto?
¡Impresionante! Mi conclusión principal hasta ahora es que me equivoqué al suponer que solo puede haber una métrica en un conjunto (espacio-tiempo en este caso). Puede haber diferentes métricas correspondientes a diferentes estructuras en él . Y cada estructura tiene un propósito diferente. La topología (estructura para la que se usa euclidiana) sirve para que podamos hablar sobre la continuidad de las curvas. El espacio del producto interno (estructura para la que se usa Minkowski) sirve para que hagamos cumplir que el intervalo de espacio-tiempo es invariable. Esa es la idea aproximada que tengo. ¡Esperamos tu actualización!

mike piedra · Answer 2

mike piedra

La topología del modelo matemático del espacio-tiempo utilizado en la relatividad general es la topología estándar de ${\mathbb R}^4$ que se induce a partir de la métrica euclidiana habitual en ${\mathbb R}^4$ . No es una topología inducida a partir de la métrica de Minkowski.

Shirish Kulhari

¿Podría explicar por qué no usamos la topología inducida a partir de la métrica de Minkowski? Usar la métrica de Minkowski para un propósito y Euclidean para otro parece inconsistente para un principiante como yo (aunque estoy seguro de que debe haber una buena razón para esto que es obvia para un experto). Entonces, siempre que tenga tiempo, le agradecería una explicación (lo más detallada posible) sobre cómo podemos salirnos con la nuestra usando diferentes métricas para diferentes propósitos.

mike piedra

Si tratamos de usar la métrica de Minkowski para inducir una topología, tendríamos que identificar (es decir, considerar como iguales) todos los puntos que están separados como la luz. Me imagino que la topología resultante no sería de mucha utilidad. Las matemáticas no están ahí para describir la realidad. Es un modelo matemático de la realidad. Por ejemplo, no puedes aprender nada sobre el espacio-tiempo demostrando algún teorema sobre los números reales, pero usando

R

${\mathbb R}$ como modelo resulta ser útil para muchos propósitos.

Shirish Kulhari

Lo siento si estoy siendo un dolor (estoy seguro de que lo soy), pero la topología es lo que decide la "cercanía" de los puntos en un conjunto hasta donde yo sé. Entonces, esencialmente, cuando estamos aproximando un pequeño parche de espacio-tiempo curvo por el espacio-tiempo plano de Minkowski, si asumimos una topología estándar caracterizada por la métrica euclidiana, lo que estamos diciendo es: la métrica euclidiana decide la cercanía de los puntos en el espacio de Minkowski. . Esto suena contradictorio porque las consideraciones físicas nos gritan que los intervalos de espacio-tiempo se miden usando la métrica de Minkowski. Editaré la pregunta para incluir esto también. ¡Gracias!

mike piedra

La métrica de Minkowski decide cómo se propagan la luz y otras ondas; la topología del conjunto de puntos del espacio-tiempo decide qué funciones se consideran continuas. Las ecuaciones de onda pueden tener soluciones discontinuas.

Shirish Kulhari

¿Qué quiere decir cuando dice que "la métrica de Minkowski decide cómo se propagan la luz y otras ondas"? (No es inmediatamente obvio para mí cómo es eso)

mike piedra

La ecuación de onda es

g^{μ ν} \partial_{μ ν}^{2} ϕ = 0

$g^{\mu\nu}\partial^2_{\mu\nu}\phi=0$ dónde

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ es la métrica de firma de Minkowski y

ϕ

$\phi$ es cualquier campo (aquí sin masa) que uno esté considerando.

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