Cuadro MTW 9.1 Vectores tangentes y espacio tangente de un espacio-tiempo libre de métricas y geodésicas. ¿Qué propiedades necesarias quedan?

Question

Cuadro MTW 9.1 Vectores tangentes y espacio tangente de un espacio-tiempo libre de métricas y geodésicas. ¿Qué propiedades necesarias quedan?

Steven Thomas Hatton

Sin intención de violar las reglas, deseo hacer preguntas específicas relacionadas con esta pregunta general. Por esa razón, intentaré especificar el tipo de respuesta general que busco. Lo más probable es que la mejor respuesta a la pregunta actual sea una referencia a una discusión de propiedades puramente intrínsecas de una variedad diferenciable, o algo similar.

Este es el Cuadro 9.1 de Misner, Thorne y Wheeler's Gravitation.

La discusión asume un espacio-tiempo libre de métricas y geodésicas. Los autores nunca explican qué propiedades posee este espacio-tiempo. Por ejemplo, ¿qué significa multiplicar el desplazamiento de $\mathcal{P}$ como $\lambda$ rangos desde $0$ a $1/N$ ? Sin concepto de distancia lo que hace $\lambda$ incluso malo?

¿Qué propiedades vamos a atribuir a este espacio-tiempo? ¿Debemos suponer que localmente se aproxima al espacio-tiempo de la relatividad especial? ¿Podemos hablar de bolas abiertas centradas en un evento? ¿Podemos hablar de un vecindario de un evento que se vuelve arbitrariamente pequeño?

Los autores hablan de la posibilidad de un "espacio incrustado" "plano" de dimensiones superiores, pero lo llaman extraño.

cucú

parece que esto es solo una idea heurística para motivar la definición de un vector tangente (aunque no soy un fanático de tales heurísticas; preferiría ver primero la definición precisa y luego mirar la motivación). Además, no estoy muy seguro de cuál es tu principal preocupación. De todos modos, los conceptos de variedades diferenciables, "curvas" en una variedad (es decir, solo un mapeo suave de un intervalo en la variedad) y el espacio tangente a una variedad diferenciable son todos temas estándar, así que una vez más, no estoy muy seguro lo que buscas

Steven Thomas Hatton

Estoy bastante convencido de que se pretende algo más que simplemente introducir espacios tangentes, etc. En muchos lugares del libro, muestran un gran entusiasmo por lo que se puede lograr sin una métrica. En el Capítulo 9, la noción de una flecha vectorial tangente en un espacio tangente se convierte en una ficción útil. Lo que queda es la capacidad de diferenciar funciones escalares con respecto a un parámetro. Los libros de Loring Tu y Frank Warner parecen compartir la opinión de MTW. Pero son desafíos formidables. CH Edwards murmura notoriamente en esta área. Alfred Gray introduce la longitud de arco casi de inmediato.

Respuestas (2)

Cuadro MTW 9.1 Vectores tangentes y espacio tangente de un espacio-tiempo libre de métricas y geodésicas. ¿Qué propiedades necesarias quedan?

parece que esto es solo una idea heurística para motivar la definición de un vector tangente (aunque no soy un fanático de tales heurísticas; preferiría ver primero la definición precisa y luego mirar la motivación). Además, no estoy muy seguro de cuál es tu principal preocupación. De todos modos, los conceptos de variedades diferenciables, "curvas" en una variedad (es decir, solo un mapeo suave de un intervalo en la variedad) y el espacio tangente a una variedad diferenciable son todos temas estándar, así que una vez más, no estoy muy seguro lo que buscas
Estoy bastante convencido de que se pretende algo más que simplemente introducir espacios tangentes, etc. En muchos lugares del libro, muestran un gran entusiasmo por lo que se puede lograr sin una métrica. En el Capítulo 9, la noción de una flecha vectorial tangente en un espacio tangente se convierte en una ficción útil. Lo que queda es la capacidad de diferenciar funciones escalares con respecto a un parámetro. Los libros de Loring Tu y Frank Warner parecen compartir la opinión de MTW. Pero son desafíos formidables. CH Edwards murmura notoriamente en esta área. Alfred Gray introduce la longitud de arco casi de inmediato.

Umaxo · Answer 1

No necesitas distancia. Lo que se considera son curvas sobre una variedad. La curva en una variedad ( $M$ ) es un mapa de números reales en variedad, es decir, un mapa que toma un número real y asigna un punto en la variedad:

PAG (λ) : R \to METRO .

$P(\lambda):\mathbb{R}\rightarrow M.$

λ

$\lambda$ es simplemente parámetro de una curva. Entonces se considera que el vector tangente es

\frac{d PAG}{d λ} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{PAG (\frac{1}{norte}) - PAG (0)}{\frac{1}{norte}} .

$\frac{dP}{d\lambda}=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{P(\frac{1}{N})-P(0)}{\frac{1}{N}}.$

El problema es que está restando dos puntos y luego dividiendo por número y no está claro qué significa exactamente para la variedad general. Para la variedad de Riemann, puede imaginar que está incrustada en una variedad plana de dimensiones superiores, donde la operación tiene sentido. Creo que este es también el origen del nombre "espacio tangente", porque en el límite, los vectores en este espacio plano de alta dimensión se vuelven tangentes a la (sub)variedad considerada.

Y si no recuerdo mal, tal incrustación siempre existe. Pero matemáticamente es una definición un poco insatisfactoria, ya que requiere comenzar con un espacio dimensional superior en el que no estamos interesados, definir nuestros vectores tangentes y luego desecharlos. El enfoque también requiere que la variedad sea riemanniana, pero puede definir vectores en cualquier variedad sin ningún problema.

Por otro lado, este enfoque es más fácil para nuestra intuición, porque entonces podemos hacer dibujos como el que publicaste. MTW busca una explicación más intuitiva, pero creo que no sería una idea terrible complementarlo con un enfoque más matemático de la geometría diferencial.

Mi pregunta es muy difícil de hacer ya que hay una serie de problemas. Una de ellas es: ¿qué se entiende por curva? math.stackexchange.com/q/3431851/342834 Entonces, ¿qué significa una curva parametrizada? Si comenzamos a hablar de variedades diferenciables, nos encontramos con cosas como los teoremas de mapeo inverso e implícito.
@StevenThomasHatton ¿Hemos hablado de algo más que de variedades diferenciables? Curva es una abreviatura de curva parametrizada. En geometría diferencial todas las curvas están parametrizadas. Además, la definición con la que estoy familiarizado requiere que las curvas sean suaves ... No veo el problema con los teoremas de mapeo inverso e implícito en la definición de una curva, ni veo cómo es relevante para su pregunta original.
El teorema de la función implícita se utiliza para definir una variedad diferenciable como el conjunto solución para un sistema de restricciones. Cada restricción independiente elimina una dimensión (grado de libertad) del número de dimensiones en el espacio de incrustación. Los desarrollos con los que estoy familiarizado utilizan varias normas, que se utilizan para cuantificar los desplazamientos. Para una curva abierta parametrizada regular, existe, como mínimo, una forma de hablar de longitud de arco relativa. Un punto con un valor de parámetro mayor tiene una longitud de arco mayor desde el punto donde el parámetro es 0. Sigue y sigue.
Acepté la respuesta, pero la idea de una variedad diferenciable (no plana) no incrustada todavía me duele la cabeza. Por ejemplo, la topología de Milnor desde un punto de vista diferenciable requiere una parametrización local de una variedad m suave incrustada en $\mathbb{R}^k$ ser un mapeo de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^m$ en $\mathbb{R}^k,$ "para que la derivada esté definida". En el caso del espacio-tiempo físico, estamos equipados con dispositivos de medición locales intrínsecos llamados varas de medir y relojes.
Ahora me doy cuenta de que parte de la razón por la que esto me resultó confuso es que la mayoría de los desarrollos generales y especializados de la geometría comienzan con alguna noción de "borde recto". De la geometría proyectiva más general; afines a la geometría; a la geometría métrica. Pero MTW tira todo. Anteriormente, cuando traté de darle sentido a esto, supuse que tenía una regla infinitesimal de un metro y un reloj de pulsera a mi disposición.
@StevenThomasHatton Lo siento por no responder, pero realmente no entiendo cuál es su confusión. Tampoco encontré nunca la definición de variedad a través del teorema de la función implícita. Por lo general, la variedad diferenciable se define como un espacio topológico dotado de atlas con consistencia en las superposiciones. Atlas es una colección de mapas de coordenadas ( $\omega_i$ ) que cubren toda la variedad, siendo el mapa de coordenadas el homeomorfismo de la variedad en $\mathbb{R}^n$ y la consistencia en las superposiciones viene dada por mapas exigentes $\omega^{-1}_i\circ\omega_j: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser k-veces diferenciable
@StevenThomasHatton Básicamente, solo estoy familiarizado con MTW y el libro de texto de Marian Fecko amazon.com/Differential-Geometry-Lie-Groups-Physicists/dp/… . Encontré que el último libro es increíblemente claro, pero no soy matemático, así que tal vez no sea tan riguroso como te gustaría. Te recomiendo que lo compruebes.
De acuerdo. Sí, estoy familiarizado con ese enfoque. Estaba pensando en desarrollos como el Cálculo Avanzado de Varias Variables de CH Edwards. Dirac también asumió un espacio de incrustación afín. No obstante, el concepto de difeomorfismo parece requerir que las curvas se vuelvan rectas a medida que la vecindad de evaluación se vuelve cada vez más pequeña. Usando un gráfico de coordenadas diferenciable invertible siempre podemos imponer el Pitágoras del dominio. Puede que no sea un medio de medición muy útil, pero está disponible.

Steven Thomas Hatton · Answer 2

Después de aceptar una respuesta, se me ocurrió la idea de que "sin métricas" debería ser realmente "agnóstico de métricas". Por ejemplo, en el desarrollo del espacio afín de Shouten , introduce "vectores de medición" en cada sistema de coordenadas permitido que son componentes iguales a la base estándar en $\mathbb{R}^n$ (es decir, columnas o filas de la matriz de identidad). Esto nos permite tratar el espacio afín bajo cualquier sistema de coordenadas permitido $\mathscr{S}$ como euclidiana con respecto a ese sistema de coordenadas. En cualquier sistema de coordenadas relativamente sesgado $\overline{\mathscr{S}}$ el $\mathscr{S}$ los vectores de medida no tendrán las componentes de la base estándar. Pero $\overline{\mathscr{S}}$ tendrá sus propios vectores de medición de base estándar, que son tan legítimos (en geometría afín) como cualquier otro.

Así que el problema no es la ausencia de una métrica. Es una infinidad de métricas que no concuerdan entre sí en lo que define distancia y volumen.

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