El teorema virial y un potencial de función delta

Entonces el teorema del virial nos dice que:

$2\langle T\rangle = \langle \textbf{r}\cdot\nabla V\rangle$.

Ahora me preguntaba qué pasaría si V tiene la forma:

$V(\textbf{r}-\textbf{r}') = V_0\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$, dónde$\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$es la función delta en dimensiones D. No estoy seguro de por qué, pero creo que debería conseguir eso:

$\langle \textbf{r}\cdot\nabla V\rangle = \frac{1}{D}\langle V_0\rangle$ya que el delta escrito como producto de diferentes componentes es:

$\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}') = \frac{1}{\sqrt{det(G)}}\prod\limits_{i=1}^D\delta(x_i-x_i')$, con$x_i$los diferentes componentes del vector$\textbf{r}$, dado en la base con métrica G, donde$\sqrt{det(G)}$da el elemento de volumen D-dimensional en la base$\textbf{e}_i$.

No sé si hay un razonamiento más riguroso para esto. ¿O si esto es incluso correcto?

Anexo: una perspectiva diferente:

Otra forma de verlo es que si cambio la escala de mi vector$\mathbb{r}$bij un factor$\lambda$, Yo obtengo:

$\delta^{(D)}(\lambda\textbf{r}-\lambda\textbf{r}') = \frac{1}{\lambda^D}\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$. Esto también me hace pensar que debería obtener la relación anterior para el teorema del virial. ¡Pero todavía no estoy seguro de mi razonamiento!

Demanda adicional de potencial (necesaria para un sistema finito)

Junto a mi potencial delta, también tengo un potencial de confinamiento adicional para mantener juntas las partículas. Por simplicidad tomaré una trampa armónica$V(r) = \frac{1}{2}m\omega^2r^2$que mantiene las partículas juntas! Así que este es el otro término del potencial, ¡pero este no lo consideré en mi pregunta porque no planteó ningún problema para mis cálculos!