¿Es kB→0kB→0k_B \rightarrow 0 el límite clásico de stat? mech., como ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 está en QM?

Son dos límites diferentes en los que dos constantes diferentes se envían a cero y la teoría limitante resultante tiene nombres diferentes.

Sin embargo, ambos son límites para constantes dimensionales y la analogía es perfecta.

El derivado correctamente$\hbar\to 0$límite de una teoría de la mecánica cuántica es una teoría clásica -su límite clásico- en el mismo sentido en el que la propia derivada$k\to 0$límite de las leyes de la mecánica estadística producen las leyes de la termodinámica.

Ahora, el límite$k\to 0$y$N\to \infty$realmente significa lo mismo porque la suposición implícita en todos estos procedimientos de limitación es que las cantidades macroscópicas conocidas de la vida cotidiana se mantienen finitas y esencialmente fijas. Este es especialmente el caso de la energía y la temperatura. La energía térmica de$N$átomos es algo así como

$$E=3kTN/2$$ Si ambos $E,T$son fijos, está claro que el $k\to 0$el límite es exactamente lo mismo que el $N\to\infty$límite. El límite termodinámico simplemente significa que estamos ignorando todos los efectos en un sistema de energía fija que son causados ​​por la finitud del número de átomos o, de manera equivalente, la finitud (valor distinto de cero) de la contribución de un solo átomo al conjunto. (que es proporcional a $k$).

Uno tiene la libertad de describir el límite de muchas maneras también en el caso de la mecánica cuántica. Podemos decir que el límite clásico aparece como$\hbar\to 0$. Pero también podemos decir que el límite clásico surge cuando$N_J\to \infty$dónde$N_J=J_z/\hbar$, Por ejemplo. Cuando el momento angular (o la acción$S$) se escribe como múltiplo de$\hbar$, la condición de los coeficientes adimensionales$N_J\to\infty$es lo mismo que$\hbar\to 0$porque su producto es fijo. La física clásica necesita ignorar todos los efectos causados ​​por la situación cuando las cantidades generales que describen el sistema son tan pequeñas que son comparables a$\hbar$(que es el régimen donde los fenómenos cuánticos cobran importancia). Nuevamente, estamos comparando dos cosas, por lo que decir que una de ellas es infinitamente más grande que la otra es lo mismo que decir que la otra es infinitamente más pequeña.

En ambas situaciones, uno tiene muchas opciones qué$N$o$N_J$puede ser exactamente. Pero en ambos casos, el límite de la constante dimensional yendo a cero, ya sea$k$o$\hbar$, es equivalente a algunos números adimensionales (aquellos que miden cuánto es más grande el sistema en relación con los "bloques básicos" mecánicos estadísticos o cuánticos donde la teoría más general muestra en todo su esplendor) yendo al infinito.

Debido a que la relación de probabilidades de un proceso de cambio de entropía y su inversión en el tiempo es como$\exp((S_B-S_A)/k)$, vemos que para fijo$S_A,S_B$en unidades macroscópicas, la relación se vuelve estrictamente infinita. Entonces, en termodinámica, es decir, el límite termodinámico de las consideraciones estadísticas, una entropía decreciente es estrictamente imposible.

Finalmente, permítanme mencionar que el límite no relativista también es análogo a los dos límites anteriores. Podemos decir que el límite implica$c\to\infty$que es claramente lo mismo que$1/c\to 0$: juega el mismo papel que$k\to 0$, Por ejemplo. Sin embargo, también podemos decir que las velocidades reales son mucho más pequeñas que$c$en el límite, por lo que$\beta=v/c\to 0$o$1/\beta\to \infty$. Eso es análogo a$N\to\infty$o$N_J\to\infty$arriba.

Sí, cuando las personas hablan sobre el límite termodinámico, siempre se refieren al límite de una gran cantidad de partículas, o$N \to \infty$.

El rol de$k_B$es relacionar las cantidades del microscopio y las cantidades termodinámicas macroscópicas. En Mecánica Newtoniana, ya hemos definido muy claramente el momento y la energía cinética. Por otro lado, la Termodinámica se desarrolla por separado con las magnitudes como volumen, presión y entropía. No está claro cómo estos dos conjuntos de cantidades se relacionan o convierten entre sí, hasta que las personas encuentran la constante de Boltzmann$k_B$. Puede ser un poco sorprendente que solo una constante pueda relacionarlos a todos juntos, pero también indica qué tan bien cuando desarrollan la Termodinámica.

Una relación es la energía cinética promedio y la temperatura, que están relacionadas por

$$\frac{1}{2} m \left\langle v^2\right\rangle = \frac{3}{2} k T$$ Similares entre la energía y la temperatura también se pueden ver en el factor de Boltzmann: $$p_i = e^{-\frac{E_i}{k_B T}}$$ Otro ejemplo es la relación entre la entropía y el número de estado: $$S = k_B \ln(\Omega)$$

Estas relaciones que relacionan las cantidades termodinámicas solo pueden tener sentido cuando estamos hablando del promedio, en el que el sistema también puede estar en contacto con el medio externo. Gran número de partículas, o$N\to \infty$, garantiza que la fluctuación del valor medio es del orden$\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$por el teorema del límite central. Por lo tanto, las cantidades termodinámicas pueden definirse bien.

Una pregunta aquí es por qué no usamos directamente, digamos, número de estado en lugar de entropía. Una razón es que la cantidad puede ser impracticablemente grande. Otra razón es que siempre que hablamos de cantidad termodinámica, siempre nos referimos a la cantidad promedio con fluctuación aleatoria. Es útil para sistemas abiertos ya que intercambia calor y partículas continuamente con el medio ambiente, pero las cantidades de energía y partículas no son constantes.

Todo depende de lo que entiendas por mecánica estadística y termodinámica clásica. Hay al menos tres versiones de la mecánica estadística, (1) una versión cuántica pura con matrices de densidad, (2) una versión semicuántica en la que los niveles de energía están cuantificados pero otras cosas son clásicas, y (3) la mecánica estadística clásica pura. versión desarrollada por Boltzmann y Gibbs y que fue el padre tanto de (1) como de (2).

No estoy seguro de lo que quieres decir con termodinámica clásica. O, más exactamente, qué podría ser la termodinámica no clásica. En general, todas las versiones de la mecánica estadística conducen a los resultados de la termodinámica siempre que la temperatura no sea demasiado baja o demasiado alta, el volumen del sistema sea mucho mayor que su área de superficie y el número de partículas en el sistema es grande, pero no tanto como para que la densidad numérica ($n/V$) llega a ser demasiado grande.

Esto es lo mejor que puedo hacer. Si refina su pregunta, la gente podría encontrar una mejor respuesta.