¿En qué límite *realmente* obtenemos estadísticas de Maxwell-Boltzmann de Bose-Einstein y Fermi-Dirac?

Le daré el argumento que se presenta en el libro del que aprendí, Dinámica física de gases . Como referencia, es la página 104, Capítulo 4, sección 6. Lo presento en su lugar porque no se basa en la distribución de Boltzmann para la derivación, por lo que tal vez haya alguna información adicional para usted. Establecieron en el artículo 5 que:

$$\frac{N_j^*}{C_j} = \frac{1}{e^{\alpha + \beta \epsilon_j} \mp 1}$$

para las estadísticas BE y FD respectivamente. La otra notación:$N_j^*$es el número de partículas en el estado de energía$j$,$C_j$es el número de niveles posibles y los coeficientes$\alpha$y$\beta$aún no se han determinado.

A temperaturas "suficientemente altas",$C_j \gg N_j^*$y la única forma de que eso sea cierto es si el denominador es grande. Y cuando el denominador es grande, la exponencial es mucho mayor que 1, por lo que ese término puede despreciarse. Entonces, las estadísticas FD y BE conducen a la misma expresión:

$$\frac{N_j^*}{C_j} = e^{-\alpha - \beta \epsilon_j}$$

Luego aplican esto al número de microestados (después de la aproximación de Sterling):

$$\ln W = \Sigma_j \left[ \pm C_j \ln \left(1\pm\frac{N_j}{C_j}\right)+N_j\ln\left(\frac{C_j}{N_j}\pm 1\right)\right]$$

donde el$\pm$es para BE y FD respectivamente. Así que conectan la expresión para$N_j^*/C_j$y luego dar la aproximación:$\ln\left(1 \pm x\right) \approxeq \pm x$para$x \ll 1$para llegar al límite de Boltzmann:

$$\ln W = \Sigma_j N_j \left( \ln \frac{C_j}{N_j} + 1 \right)$$

Entonces, toda la derivación realmente depende de la noción de que a temperaturas "suficientemente grandes", hay considerablemente más estados de energía que partículas y, por lo tanto, la gran mayoría de ellos están vacíos. Además, las estadísticas FD y BE tienen el mismo resultado porque hay tantos estados vacíos que la probabilidad de que dos partículas intenten ocupar el mismo nivel es muy baja.

Toda esta derivación se basa solo en información sobre estadísticas cuánticas y no requiere el movimiento manual necesario para llegar a la misma conclusión de la mecánica clásica como lo hace la derivación de la distribución de Boltzmann (eso dicen los autores del libro inmediatamente después de la derivación).

Continúa diciendo que$\epsilon_j$tiene una amplia gama de valores, incluido cero, por lo que la única forma de que la exponencial sea grande para todos los estados es tener$\alpha \gg 1$. Esto es equivalente a (y se deja como ejercicio):

$$\frac{V}{N} \times \frac{\left(2 \pi m k T\right)^{3/2}}{h^3} \gg 1$$

que se viola por muy pequeña$m$con una densidad numérica muy grande$N/V$.

Entonces es bastante sencillo eliminar$\alpha$y llegar a una expresión con sólo$\beta$, que no es posible resolver de forma práctica. Luego usan la expresión para el número máximo de microestados y perturban la solución sobre$N_j^*$y descuide los términos segundo o superior de$\Delta N_j$.

Con base en todo eso, se encuentra que$\beta = \frac{1}{k T}$. Pero esto depende de la suposición de que todos los posibles microestados de un sistema son a priori igualmente probables.

Obviamente, me salté un montón de pasos y ecuaciones en la derivación, pero recomiendo mucho este libro (o cualquier otro que muestre la derivación desde el lado de la mecánica cuántica en lugar de desde el lado de la distribución de Maxwell-Boltzmann).

Para las estadísticas BE o FD, tiene la restricción adicional de que está tratando con un número fijo de partículas (o un número medio fijo). Eso te da una condición de normalización.

$$\int d\epsilon \ n(\epsilon) = N$$ Ahora, para T grande $\beta \epsilon$es pequeño, es decir, una gran fracción de los posibles estados de energía es realmente accesible, es decir, posiblemente podría contribuir a la integral. Para asegurarse de que se cumple la condición de normalización, debe tener $\mu$tal que $$e^{\beta (\epsilon - \mu)} \gg 1$$

En resumen, la restricción en el número de partículas requiere una dependencia de la temperatura del potencial químico que a su vez conduce a estadísticas de MB a altas temperaturas.

Voy a hacer este estilo de preguntas y respuestas, ya que me acabo de dar cuenta de cuál es la respuesta. En primer lugar, me gustaría disculparme con las personas a las que desprecié por la

$$\frac{\epsilon -\mu}{T} >> 1$$ respuesta. Sin un comentario, es un poco confuso pero en realidad es correcto, la relación anterior debe cumplirse para todos los estados de energía, por lo que es más importante para la energía más baja. $\epsilon_{min}$. si descuidamos $\epsilon_{min}/T\approx 0$, tenemos $$T \ll -\mu$$ Es decir, en ciertos casos, la distribución de Maxwell-Boltzmann sí puede ser un límite de temperatura bajo (véanse los dos últimos párrafos). Para un límite de temperatura alto, esta estructura jerárquica debe cumplirse siempre $$1 \ll T \ll -\mu$$

Sin embargo, lo que a menudo se discute es el hecho de que en realidad estamos interesados ​​en un sistema cerrado en equilibrio (conjunto canónico). Para eso necesitamos revertir la expresión

$$N = \int_0^\infty \frac{D(\epsilon)}{e^{(\epsilon - \mu(N,V,T,...))/T}\pm 1} d\epsilon$$ Para obtener la función $\mu(N,V,T,...)$. Sin embargo, esto es muy diferente para cada sistema, por lo que generalmente no podemos decir cuál podría ser el resultado. Por ejemplo, para un piso $D(\epsilon)=1$obtenemos $$N = \pm T log(\pm e^{\frac{\mu}{T}}+1)$$ Asumiendo $-\mu/T \gg 1$y verificando la autoconsistencia más tarde, obtenemos $$N \approx \pm T(1 \pm e^{\frac{\mu}{T}}), \to -\frac{\mu}{T} = - log(\frac{N}{T}\pm 1)$$ Ahora obviamente para $T \to \infty$, $-\mu/T \to 0$para Fermi-Dirac y queda indefinido para Bose-Einstein, (autoconsistencia - no). Por lo tanto, es muy difícil invertir esta ecuación incluso para las densidades simples y la estructura jerárquica se puede obtener solo si $-\mu/T$está creciendo con $T$. Creo que el límite de temperatura alta también debe tomarse junto con otro límite simultáneo, como la densidad numérica baja, como lo menciona el usuario tpg2114, y no se puede probar para un sistema genérico.

Pasemos ahora a los casos en los que la estadística de Maxwell-Boltzmann es en realidad un límite de baja temperatura. Esto es cierto, por ejemplo, para un sistema de componentes múltiples en el que tienen lugar reacciones "químicas" (esto puede incluir reacciones nucleares y cambios de partículas como en la cosmología primitiva). En estos sistemas, los potenciales químicos de los componentes están fijados por las liberaciones de energía en las reacciones. De manera similar, en un sistema abierto, tenemos un potencial químico fijado por el reservorio externo. Entonces si la diferencia$(\epsilon_{min}-\mu)$es positivo, de hecho ganamos la distribución de Maxwell-Boltzmann para bajas temperaturas

$$T \ll \epsilon_{min}-\mu$$ Por ejemplo, para fotones donde $\mu=0$, en realidad podríamos usar Maxwell-Boltzmann solo para una cavidad muy pequeña a muy baja temperatura ya que el modo más bajo del fotón $\epsilon_{min} \sim V^{-1/3}$.

En resumen, en un conjunto grancanónico con fijo $\mu$(es decir, no cambia en el proceso de limitación), las estadísticas de Maxwell-Boltzmann nunca se pueden usar como límite de temperatura alta.

El caso de baja temperatura se hace realmente, por ejemplo, en cosmología de partículas. Fue al leer este artículo (eq. 2.20 a) cuando me topé con la "paradoja" de que se puede usar la estadística de Maxwell-Boltzmann porque la temperatura es baja y tuve que hacerme esta pregunta.