Intuición detrás del teorema virial clásico

La conclusión, la afirmación del teorema virial, no es "solo algo de matemática" porque todos los objetos en la afirmación tienen una interpretación física. Así que es física y tiene grandes implicaciones tanto en la física teórica como en la física aplicada.

La derivación es una derivación matemática, pero no es correcto agregar la palabra irrespetuosa "solo" a una derivación matemática. Las derivaciones matemáticas son las más sólidas y las únicas derivaciones verdaderamente sólidas que uno puede tener en ciencia. Por el contrario, son las derivaciones e intuiciones que no son matemáticas las que deben ir acompañadas de la palabra "simplemente" porque son inferiores. En cambio, la forma correcta es ajustar la intuición de uno para que sea compatible con los resultados más sólidos de la física, y son los resultados formulados matemáticamente. Por cierto, hay varias derivaciones, que se ocupan del conjunto microcanónico, el conjunto canónico, etc. Los detalles de la prueba difieren en estas variaciones, pero la conclusión física general es compartida e importante.

La prueba exacta del teorema no se puede simplificar demasiado, de lo contrario la gente lo haría, pero se pueden ofrecer pruebas heurísticas aproximadas para versiones aproximadas del teorema virial y sus casos especiales. Por ejemplo, la cantidad en el valor esperado contiene la derivada de$H$con respecto a una coordenada. Cuanto mayor es la derivada, más aumenta el hamiltoniano con la coordenada, y más aumenta el factor de Boltzmann.$\exp(-H/kT)$de la distribución canónica disminuye con la coordenada, lo que hace que el valor esperado de la coordenada sea más pequeño. Entonces, si volvemos a multiplicar la cantidad por la coordenada, obtenemos algo que se comporta constantemente, independientemente de la pendiente. Y, de hecho, el valor esperado del producto solo depende de la temperatura.

Este teorema es importante en física estadística porque la física estadística tiene que ver con el cálculo de promedios estadísticos de varias cantidades, el teorema nos permite expresar algunos valores esperados de una manera más simple y$x_i \cdot \partial H / \partial x_j$se encuentran entre las cantidades más simples e importantes cuyos promedios estadísticos pueden ser calculados o interesantes. Así que deberíamos saber mejor cómo se comportan.

Un caso especial importante del teorema que mencionaste trata sobre el cálculo del valor esperado de la energía cinética y la energía potencial. el primero es$n/2$multiplicado por este último para potenciales de ley de potencias de la forma$ar^n$, Por ejemplo. Entonces sabemos qué porcentaje de la energía se almacena en la cinética y qué porción es la energía potencial. Por ejemplo, tanto la energía cinética como la potencial contribuyen en un 50 % a un oscilador armónico.$r^2$potenciales. Para el Kepleriano o Coulomb$-C/r$potencial, es decir$n=-1$, la energía potencial es negativa,$-|V|$, y la energía cinética es$+|V|/2$, reduciendo el potencial en un 50% manteniendo la energía total negativa. Hay muchas otras cosas que podemos aprender del teorema en varias situaciones y en clases de situaciones.

El punto de usar expresiones como

$$\langle x^i \frac{\partial H}{\partial x^j} \rangle$$ no es necesariamente obtener información sobre ningún sistema general , sino obtener una herramienta para estudiar sistemas específicos o al menos clases de sistemas caso por caso.

Por ejemplo, en la dinámica newtoniana/galileana, la mayoría de los sistemas de interés se podrán expresar en coordenadas tales que su hamiltoniano tenga la forma separable

$$H = T(p_i) + V(x^i)$$ Ahora consideremos la vecindad de un equilibrio no degenerado , que es un punto$x^i_0$tal que$\partial V/\partial x^j (x^i_0)$, pero todos los valores propios de la matriz$V_{ij} \equiv \partial^2 V/ \partial x^j \partial x^k (x^i_0)$son positivos (es decir, la matriz de la segunda derivada no es degenerada y definida positiva). Entonces podemos hacer una transformación a$\delta x^i = x^i-x^i_0$y el hamiltoniano se puede reexpresar en la forma $$H = T(p_i) + \frac{1}{2}V_{ij}\delta x^i \delta x^j + \mathcal{O}(\delta x^3)$$ (Suponiendo la convención de suma de Einstein ). En ese caso, podemos decir que cerca del equilibrio$x^i_0$ $$\delta x^k\frac{\partial H}{\partial x_l} = \delta x^k V_{lj}\delta x^j$$ (Cayendo automáticamente$\mathcal{O}(\delta x^3)$de ahora en adelante.) Si pones$k=l$y suma los índices que obtienes $$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}(x^i) = \delta x^l V_{lj}\delta x^j \approx 2 (V(x^i) - V(x^i_0))$$ En otras palabras,$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}$tiene el significado de aproximadamente el doble de la diferencia de energía potencial en comparación con el equilibrio.

En principio, si conoces la matriz$V_{ij}$, sabiendo cada uno$\delta x^k \partial H/\partial x^l$también le permite calcular la distancia aproximada$\delta x^i$del sistema lejos del equilibrio del potencial. También puede usar algún análisis dimensional para una estimación general de la liberación completa del sistema desde el equilibrio. Suponga que de la física del sistema entiende que el potencial está asociado con una escala de energía vinculante$E_{\rm b}$y que la matriz de la segunda derivada queda como$V_{ij} \sim E_{\rm b}/L_{\rm V}^2$dónde$L_{\rm V}^2$es una longitud de variabilidad. Luego puede estimar que el sistema permanece vinculado mientras

$$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}(x^i) \lesssim E_{\rm b}$$ También vemos que una condición equivalente es$|\delta x| \lesssim L_{\rm V}$, que es también la condición para el pequeño-$\delta x$expansiones anteriores para ser válido.

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Hasta ahora solo he discutido la mecánica clásica, sin involucrar la física estadística. Ahora, para simplificar, cambiemos nuestro sistema de coordenadas para que$x^i_0 = 0$y luego

$$\langle x^k \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle \approx 2 \langle V_{lj}x^j x^k \rangle$$ La afirmación de que por$k\neq l$esto es cero significa simplemente que las fluctuaciones en las direcciones "ortogonales de energía" no están correlacionadas. Esto se puede entender particularmente bien si rotas en una base donde$x^i$son vectores propios de$V_{ij}$(es decir, una base donde$V_{ij}$es diagonal). El$k=l$(¡sin la suma de Einstein!) le da la correlación de las fluctuaciones "relacionadas con la energía" sobre el equilibrio potencial.

Por ejemplo, una vez que usamos el teorema del virial y la estimación de la regla general para sistemas atados cerca del equilibrio, obtenemos una condición para que el sistema permanezca atado como

$$\langle x^l \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle \approx 2n\langle V - V_{\rm eq}\rangle = n k_{\rm B} T \lesssim E_{\rm B}$$ (aquí$n$es el número de grados de libertad.) Es decir$\langle x^l \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle$le permite analizar en detalle si el sistema se mantiene en equilibrio, posiblemente alcance otros equilibrios locales, etc., etc.

Por supuesto, esto es solo un ejemplo de una clase de sistemas. Hay sistemas con equilibrios degenerados para los cuales la discusión cambia en algunos detalles, pero el significado general del término$\langle x \partial H/\partial x\rangle$es similar. En la mecánica cuántica, uno tiene que usar un análisis similar para responder si la temperatura es suficiente para excitar un grado de libertad al menos por un solo salto cuántico y si, por lo tanto, debe incluirse en la suma de estados. En astrofísica, a menudo también se discuten sistemas en los que el teorema virial es muy importante pero el potencial gravitacional es$\sim 1/|x - x'|$entre cada dos partículas. Sin embargo, el significado del término$\langle x \partial H/\partial x\rangle$no es del todo universal y se vuelve particularmente turbio en la física relativista. Entonces, como dije al principio, el teorema virial proporciona una herramienta útil para clases específicas de sistemas, pero quizás no para todos los sistemas.