Origen de las variables conjugadas en las teorías físicas

Esto podría responderse mejor considerando sus ejemplos anteriores (posición y momento) y sus últimos ejemplos (volumen y presión, etc.) por separado. Consulte esta pregunta para saber por qué los estoy considerando por separado.

El primer conjunto de ejemplos (los de la mecánica hamiltoniana) tiene sus raíces en las dualidades de Pontryagin . La prueba de este concepto es un poco detallada pero esencialmente se reduce a tratar de encontrar las condiciones bajo las cuales$\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$es equivalente a$f$en algún sentido. Da la casualidad de que esto es válido para todos los grupos abelianos compactos. Y también, como sucede, la posición es el dual de Pontryagin del momento, y viceversa.

El segundo conjunto de ejemplos (de la termodinámica) surge cuando observamos las distribuciones de equilibrio en la termodinámica. En ese caso, no hay nada 'especial' en que esas variables vengan en pares. Por ejemplo, considere la ecuación de energía interna para un conjunto canónico, relacionándola con la entropía (S), el volumen (V), la temperatura (T) y la presión (p):

$$\mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V$$ Puedes ver que la temperatura y la presión son solo las 'constantes de proporcionalidad' de los cambios en la entropía y el volumen en esta ecuación. En cuanto a por qué los cambios en la temperatura provocan cambios en la entropía (transferencia de calor), se debe a que la segunda ley de la termodinámica busca aumentar la entropía del sistema más el baño. Cuando el sistema se aleja ligeramente del equilibrio, por ejemplo aumentando $T$del baño en una cantidad muy pequeña, se intercambia cierta cantidad de entropía y el sistema se equilibra nuevamente.

Hay un tipo diferente de relación entre temperatura y calor, digamos, y posición/momento. Mientras que el momento y la posición generalizados están relacionados por ecuaciones diferenciales recíprocas, no ocurre lo mismo con la temperatura y el calor.