Energía clásica vs cuántica del átomo de hidrógeno

En cuanto al factor$\frac{1}{2}$: Parece que OP en su razonamiento clásico solo tuvo en cuenta la energía potencial de Coulomb

$$\tag{1}\langle U\rangle ~=~-k_e e^2 \langle \frac{1}{r} \rangle ~=~-\frac{k_e e^2}{a_0} ~<~0.$$

Aquí$k_e$es la constante de Coulomb y$a_0$es el radio de Bohr .$^1$

Sin embargo, también debemos tomar la energía cinética$\langle T\rangle>0$¡en cuenta! Sabemos por el teorema virial que la energía cinética

$$\tag{2}\langle T\rangle~=~-\frac{1}{2}\langle U\rangle~>~0$$

es menos la mitad de la energía potencial del$1/r^2$Fuerza de culombio.

Por lo tanto, la energía total se convierte en la mitad de la energía potencial de Coulomb:

$$\tag{3} E ~=~ \langle T\rangle+ \langle U\rangle ~=~-\langle T\rangle ~=~\frac{1}{2}\langle U\rangle~<~0,$$

que es (hasta firmar convenciones) la energía de Rydberg .

--

$^1$Aquí, la estimación de OP se ve favorecida por el hecho de que el valor esperado

$$\tag{4}\langle\frac{1}{r}\rangle ~=~\frac{1}{a_0}$$

en el estado fundamental resulta ser el radio de Bohr inverso sin que aparezca ningún número adimensional no trivial en la ecuación. (4)! [Tenga en cuenta para la comparación, que, por ejemplo,$\langle r\rangle =\frac{3}{2}a_0$.]