el teorema de Bertrand

Yo asumo eso

$$\mathbb{R}_{\geq 0}~\ni~ r \quad\stackrel{V_{\rm eff}}{\mapsto} \quad V_{\rm eff}(r)~\in~ \mathbb{R}$$

es una función continua. Entonces la conservación de la energía se lee

$$E~=~ \frac{m}{2} \dot{r}^2+ V_{\rm eff}(r).$$

Una condición necesaria y suficiente para la existencia de una órbita acotada radialmente (que no necesariamente es periódica/cerrada o estable) es que exista un nivel de energía$E$tal que al menos uno de los componentes conectados (que son necesariamente intervalos o puntos) de la preimagen

$$V_{\rm eff}^{-1}(]-\infty,E]) ~\subseteq~ \mathbb{R}_{\geq 0}$$

es un conjunto acotado radialmente .

II) Parece que el único lugar donde Goldstein (en su libro Mecánica clásica ) considera la condición de concavidad

$$V_{\rm eff}^{\prime\prime}(r)~>~0$$

se encuentra al comienzo de la Sección 3.6, donde analiza las órbitas circulares estables. Utiliza la concavidad para concluir la desigualdad relativamente leve.$p>-3$para una fuerza de ley de potencias$f(r) \propto r^p$.

A un nivel más peatonal que Qmecánico...

Tal como lo utiliza Goldstein, la condición de concavidad positiva:

$$\frac{d^2 V_{\rm eff}}{dr^2} > 0$$

se requiere para la estabilidad de una órbita circular. (La segunda derivada se evalúa en el radio de la órbita).

Primero, tal órbita sólo puede existir en un extremo de$V_{\rm eff}$, donde la fuerza radial (el negativo de la primera derivada de$V_{\rm eff}$) es 0:

$$-\frac{dV_{\rm eff}}{dr} = 0$$

(De lo contrario, no sería una órbita de equilibrio).

Para examinar la estabilidad, imagine que la órbita se desvía ligeramente, por$\Delta r$, desde la posición de equilibrio. Entonces la fuerza radial$f_r$ya no es exactamente cero: mediante una expansión de Taylor del potencial alrededor del equilibrio (recordando que el término lineal es 0 por suposición) se encuentra una versión de la ley de Hooke:

$$f_r = - \frac{d^2 V_{\rm eff}}{dr^2} \Delta r$$

Esta fuerza es restauradora (estabilizadora) si la concavidad es positiva, pero desestabilizadora si la concavidad es negativa.

Esta situación es análoga a un péndulo vertical. Hay dos equilibrios: 1) el péndulo en reposo en la parte inferior y 2) en reposo en la parte superior. El punto de equilibrio inferior es estable, pero el equilibrio superior es inestable.

Como señalaron otros, esta condición no es el teorema de Bertrand, que se refiere a las órbitas cerradas en general (no solo a las circulares).