¿Qué es la "ecuación escalar asociada" de las ecuaciones de movimiento?

La "ecuación escalar asociada" es solo la fórmula para la evolución temporal de la magnitud escalar del desplazamiento,$r$, en lugar de todos sus componentes vectoriales. Realmente solo tiene sentido escribir tal ecuación si el lado derecho se puede expresar en términos de$r$solo y no$\mathbf{r}$. Luego puedes usarlo para analizar la evolución de$r$en términos escalares simples, sin preocuparse por las cantidades vectoriales.

Para ver de dónde viene, primero tenga en cuenta el escalar$r$puede ser escrito$r = \sqrt{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}$. Entonces

$$r' = \frac{1}{2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r})^{-1/2} (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}' + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}) = \frac{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}}{r}.$$ Continuando con la siguiente derivada, encontramos $$\begin{align} r'' & = \frac{1}{r^2} \left((\mathbf{r}'' \cdot \mathbf{r} + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}') r - (\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}) r'\right) \\ & = \frac{1}{r^2} \left(\left(-\frac{\mu}{r^3} \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} + \mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}'\right) r - \frac{(\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r})^2}{r}\right), \end{align}$$ donde usamos la fórmula que encontramos para $r'$así como $\mathbf{r}'' = -\mu \mathbf{r} / r^3$. recordando $\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = r^2$, podemos escribir $$r'' = -\frac{\mu}{r^2} + \frac{1}{r^3} \left((\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r}') (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}) - (\mathbf{r}' \cdot \mathbf{r})^2\right),$$ que es la misma forma que la ecuación escalar asociada dada.

Queda por demostrar que la expresión entre paréntesis es constante. Reconocer y luego manipular algunos rendimientos de productos triples

$$\begin{align} r'' & = -\frac{\mu}{r^2} - \frac{1}{r^3} \mathbf{r} \cdot (\mathbf{r}' \times (\mathbf{r}' \times \mathbf{r})) \\ & = -\frac{\mu}{r^2} - \frac{1}{r^3} (\mathbf{r} \times \mathbf{r}') \cdot (\mathbf{r}' \times \mathbf{r}). \end{align}$$ Pero $\mathbf{r}' \times \mathbf{r}$es solo el momento angular relativo específico $\mathbf{h}$, que se conserva en el problema de dos cuerpos. Así recuperamos la fórmula dada con la constante $c^2 = \mathbf{h} \cdot \mathbf{h}$.

Mi respuesta es la misma que la de Chris, pero formulada de una manera diferente (es esencialmente la misma que la de este artículo de wiki ):

En coordenadas polares, el vector de posición es

$$\mathbf{r} = r\,(\cos\varphi,\sin\varphi) = r\,\mathbf{\hat{r}},$$ con $\mathbf{\hat{r}}$el vector unitario radial. La velocidad es entonces $$\mathbf{v} = \dot{r}\,(\cos\varphi,\sin\varphi) + r\dot{\varphi}\,(-\sin\varphi,\cos\varphi) = \dot{r}\,\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\varphi}\,\boldsymbol{\hat{\varphi}},$$ con $\boldsymbol{\hat{\varphi}}$el vector unitario azimutal. la aceleración es $$\mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\,\mathbf{\hat{r}} + (2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\,\boldsymbol{\hat{\varphi}}.$$ Pero como la gravedad es una fuerza radial, la aceleración azimutal debe ser cero, de modo que $$2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi} = \frac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}t}(r^2\dot{\varphi}) = 0.$$ En otras palabras, el momento angular relativo específico $h=r^2\dot{\varphi}$es una constante Por lo tanto, la aceleración (radial) se convierte en $$a_r = \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 = \ddot{r} - \frac{h^2}{r^3} = -\frac{\mu}{r^2},$$ que da el resultado deseado.