¿Por qué preferimos la "mecánica lagrangiana y hamiltoniana" a la mecánica newtoniana? [duplicar]

Una de las principales ventajas prácticas es que le permite mucha más libertad en su elección del sistema de coordenadas , lo que le permite elegir el correcto para poder simplificar mejor las ecuaciones de movimiento para la tarea en cuestión. Lo que eso significa es que no solo estamos limitados a usar cosas como Descartes-Fermat ("Cartesiano"), cilíndricos o polares/esféricos polares, sino que podemos usar coordenadas curvilíneas virtualmente arbitrarias.

Nunca subestimes el poder de una buena elección de coordenadas. Por ejemplo, el movimiento orbital se trata mejor en coordenadas polares que en cartesianas; simplemente compare las ecuaciones incluso para el movimiento orbital circular simple:

$$x(t) = R \cos(\omega t),\ \ y(t) = R \sin(\omega t)$$

versus

$$r(t) = R,\ \ \theta(t) = \omega t$$

¿Con cuál crees que es más fácil trabajar algebraicamente? ¿Cuál te da una mejor pista sobre la forma del movimiento?

O con un sistema como el péndulo: idealmente, no desea resolver su movimiento en términos de coordenadas cartesianas, sino en términos del ángulo.$\theta$, ya que está naturalmente obligado a moverse a lo largo de una trayectoria angular. Efectivamente tiene una dimensión, no dos.

El enfoque muy general que le permite lidiar con tales cosas, por ejemplo, una cuenta que se mueve a lo largo de una espiral como en los juguetes de algunos niños viejos (¿todavía usan esas cosas?), es la mecánica lagrangiana y hamiltoniana. La razón por la que lo necesita es porque, si bien, digamos en el ejemplo anterior, puede obtener de forma relativamente sencilla el ejemplo polar del cartesiano y viceversa, para hacerlo necesita aplicar un cambio de coordenadas general a todo el espacio, ¿y cómo lo haría ? ese cambio necesario para algo tan extraño como las "coordenadas helicoidales" que necesitarías para el juguete de los niños?

Otra ventaja, sin embargo, es teórica , es que se podría argumentar que la mecánica lagrangiana/hamiltoniana es una forma más fundamental de tratar los problemas de física. En la mecánica newtoniana regular, tratamos con la fuerza. Pero la fuerza no es realmente un concepto tan fundamental como el que tratan los otros dos, que es la energía . Energía, momento, momento angular: estas son las tres cantidades más básicas (junto con el espacio y el tiempo) de la mecánica. La fuerza es en realidad una cantidad derivada; tenga en cuenta que la segunda ley de Newton se da mejor como$\mathbf{F}_\mathrm{net} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$y no el más "elemental" (realmente, pedagógico )$\mathbf{F}_\mathrm{net} = m\mathbf{a}$. La mecánica L/H demuestra su profundo significado cuando haces la transición de la física clásica a la física moderna... en particular, la mecánica cuántica, donde la principal ecuación gobernante usa un hamiltoniano.en él, esa es efectivamente la generalización cuántica del mismo hamiltoniano que escuchaste en ya sabes dónde ... E incluso MEJOR, cuando llegas a la gran teoría completamente madura de la Teoría cuántica de campos donde finalmente puedes comenzar a comprender el modelo estándar , nuestra mejor teoría de la física hasta la fecha, en todo su esplendor y, por lo tanto, después de su larga tutela, eche un vistazo a la ubicación de las fronteras de la física donde todo el trabajo lo realizan las personas geniales con las cosas geniales de las que escucha en el revistas casuales todo el tiempo sobre el espacio y el tiempo y la gravedad cuántica y todas esas cosas buenas solo ahora para verlo con los ojos de un experto, el Lagrangiano también regresa.

(¿Por qué es esto? ¿Por qué no usar la fuerza en QM todavía? Bueno, si lo piensas bien, la fuerza realmente solo "persiste" en CM porque hay momentos en que la energía parece desaparecer, por ejemplo, la fricción, y por lo tanto la descripción en términos de fuerzas suele ser más útil que en términos de energía cuando se trata de problemas del mundo real, pero como sabemos, las fuerzas como la fricción que parecen no conservar la energía son en realidad manifestaciones macroscópicas de fuerzas conservativas que actúan a escala microscópica (por ejemplo, la fricción que convierte la energía cinética en en calor y sonido). QM es la teoría de la escala microscópica y, por lo tanto, debería poder dar cuenta de todas las energías en la descripción y, de hecho, puede hacerlo).