¿Cómo probar que los propagadores de Feynman del campo U(1)U(1)U(1) spin-111 son equivalentes en calibre Coulomb y calibre RζRζR_\zeta?

Cómo probar que el propagador de Feynman son equivalentes en calibre de Coulomb y$R_\zeta$¿indicador? (Sé más específico, son iguales cuando se contraen con corriente externa)

En$R_\zeta$calibre, el propagador toma la forma

$$D_{F\mu\nu}=-\frac{1}{k^2+i\epsilon}\left[g_{\mu\nu}-(1-\zeta)\frac{k_{\mu}k_\nu}{k^2}\right]$$

Cuando$\zeta=1$es el indicador de Feynman,$D_{F\mu\nu}=-\frac{g_{\mu\nu} }{k^2+i\epsilon}$. Es la forma habitual que usamos en las reglas de Feynman. Porque el$A_{\mu}$siempre está acoplado a la corriente conservada, es decir$\partial_\mu J^\mu(x)=0$entonces$k_\mu J^{\mu}(k)=0$. Entonces prueba que el propagador en$R_{\zeta}$calibre es equivalente al calibre Feynman.

En calibre Coulomb, el propagador toma la forma:

$$\begin{aligned} D^C_{F\mu\nu}&=\frac{1}{k^2+i\epsilon}\left(\sum_{i=1,2}\epsilon_\mu(k,i)\epsilon_\nu(k,i)\right)\\ &= -\frac{g_{\mu\nu} }{k^2+i\epsilon} -\frac{n_{\mu}n_{\nu}}{(k\cdot n)^2-k^2}-\frac{1} {k^2+i\epsilon} \frac{k_\mu k_\nu-(k_\mu n_\nu+k_\nu n_\mu )(k.n)}{(k\cdot n)^2-k^2} \end{aligned}$$

Usando el mismo argumento anterior, el tercer término no tiene contribución. Pero el segundo término es una interacción instantánea de Coulomb. si elegimos$n^{\mu}=(1,0,0,0)$, el segundo el término es

$$\frac{\delta_{\mu,0}\delta_{\nu,0}}{|\mathbf{k}|^2}$$

En el espacio de coordenadas, este término es

$$\delta_{\mu,0}\delta_{\nu,0}\frac{\delta(x_0-y_0)}{4\pi|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$

No puedo ver por qué es cero cuando se acopla con corriente externa.