Intuición para el transporte paralelo de ancho (Wilson loops)

Esta es la definición del campo calibre. Suponga que tiene una simetría SU (2), para mayor precisión, considere isospin. Entonces, la noción de "protón" y "neutrón" define dos ejes en el espacio de isospin, y es posible que desee decir que es arbitrario qué dos combinaciones lineales de protón y neutrón son los vectores base correctos. De modo que alguien define una base de "protón" y "neutrón" en un punto, y otra persona define una base diferente en el mismo punto, y no puede saber cuál es la correcta (suponga que no hay carga en el protón, y las masas son exactamente iguales).

Por lo tanto, tiene la libertad de redefinir el protón y el neutrón mediante una rotación SU(2) diferente en cada punto. Esta es la libertad de calibre, puede multiplicar por un elemento de grupo diferente G(x). Ahora, para comparar un protón en un punto x con un protón en un punto y, debe transportar el protón a lo largo de una curva de x a y.

La conexión de calibre te dice por qué matriz multiplicas cuando te mueves en una dirección infinitesimal$\delta x_\alpha$. La matriz SU(2) por la que rotas es

Esto es infinitesimalmente cercano a la identidad, por lo que la parte A está en el álgebra de Lie de SU(2). La "i" es convencional en física, para hacer que la matriz A sea hermítica en oposición a antihermítica, como es la convención más limpia y la que se usa en matemáticas. Esto significa que A es una combinación lineal de matrices de Pauli. Esto le da una representación concreta del campo de indicador (suprimiendo los índices i,j):

Supuso que el transporte paralelo es lineal en el$\delta x$'s, esto es para que la noción sea compatible con la noción de espacio-tiempo como una variedad diferencial --- si duplica el desplazamiento, duplica el ángulo de rotación infinitesimal. Asumes que es infinitesimal por continuidad física.

De esto, es obvio que el transporte paralelo a lo largo de una curva es el producto de A a lo largo de cada uno de los segmentos infinitesimales que forman la curva:

Donde la exponencial ordenada por caminos se define como el límite del producto por la izquierda. Esta es la generalización no abeliana de la fase adquirida por una partícula cargada en un campo electromagnético a lo largo de un camino.

El campo de calibre es entonces un mapa entre curvas y matrices SU(N) con la propiedad de que si une caminos de extremo a extremo, las matrices se multiplican. La matriz asociada a una espira cerrada infinitesimal se denomina curvatura y es proporcional al elemento de área encerrado en la espira. Esto es idéntico a la relatividad general. Todo el ejercicio es una generalización de la conexión de la relatividad general a casos donde los grupos no son rotaciones. Especializado al caso de rotación da GR.

Es simple de describir matemáticamente.

Primero recordaré lo que significa la ecuación para la fase de Aharonov-Bohm, y luego describiré (sin prueba) su relación con el transporte paralelo para$G$-paquetes, que defino.

El potencial de calibre$A$es una conexión en algún principal$G$-paquete, donde$G$es el grupo de calibre. Principal$G$-paquetes sobre una variedad$M$se clasifican por la segunda cohomología$H^2(M,G)$. por una curva$\gamma$en$M$, podemos retirar cualquier paquete principal a$\gamma$, y desde$\gamma$es unidimensional,$H^2(\gamma,G)=0$, por lo que el retroceso del paquete principal es trivial. En consecuencia, el retroceso de la conexión$A$es solo un formulario 1 en$\gamma$(una vez que elegimos una trivialización). Esto significa la expresión$exp(i \int_\gamma A)$tiene sentido. Para que no dependa de la elección de la banalización (por la cual un cambio en la banalización provoca una conjugación de esta cantidad, que es un elemento de$G$) necesitamos tomar una función de clase$\chi :G\rightarrow \mathbb{C}$(es decir, que sólo depende de las clases de conjugación en$G$) y considerar$\chi (exp(i\int_\gamma A))$. Esto solo depende de$A$,$\gamma$, y$\chi$. Una función de clase$\chi$es lo mismo que una huella en una representación compleja$R$de$G$(tales objetos están en biyección) y entonces uno puede reescribir esto de la manera normal:

$Tr_R exp(i\int_\gamma A)$.

Esta es la fase Aharonov-Bohm.

Podemos reformular esto en términos de transporte paralelo de la siguiente manera. La fibra sobre un punto base$x \in M$es un conjunto en el que$G$actúa fiel y transitivamente. Es decir, cualquier elección particular de punto base$\tilde x$en la fibra se puede enviar a la identidad de$G$y así define un isomorfismo entre la fibra y la representación regular de$G$en sí mismo. Una vez que se elige el punto base en la fibra, al igual que en el transporte paralelo de haces vectoriales, cualquier curva desde$x$en$M$se eleva únicamente a una curva en el espacio total del paquete que comienza en$\tilde x$. por un bucle$\gamma$, esto se eleva a una curva que comienza en$\tilde x$y terminando en otro lugar de la fibra. En otras palabras, el ascensor define un mapa de$G$representaciones$G\rightarrow G$. Este es el análogo del transporte paralelo para el principal$G$-manojos. Con una elección de punto base, podemos identificar este conjunto de mapas con$G$, por lo que cada ciclo nos da un elemento de$G$dependiendo de una trivialización del paquete en$x$. El cambio de banalización corresponde a la conjugación en$G$, por lo que podemos elegir una representación y calcular nuevamente la fase de Aharonov-Bohm en esta imagen abstracta.

Los teoremas de De Rham (o tal vez una extensión fácil de los mismos, solo use algunas particiones de la unidad para que sea suficiente para mostrar un espacio contráctil) aseguran que cada mapa de transporte paralelo surja de una forma de conexión$A$como en el primer párrafo. Es decir, el mapa.$G \rightarrow G$de$G$-representaciones es sólo$exp(i\int_\gamma A)$(dependiendo de una banalización).

Una buena referencia para este material se puede encontrar en el libro Geometry and Topology in Physics de Nakahara.