El sexto problema de Hilbert (las respuestas actuales ignoran el hecho de que CU⊆UCU⊆UC_{U} \subseteq U ) [duplicado]

(las respuestas actuales descuidan el hecho de que el conjunto de todos los conceptos ( C tu ) es un subconjunto de U ya que todos ellos están codificados físicamente (representados simbólicamente por los propios eventos físicos (cerebros, computadoras y otros)) (nota ⊕ es el mutuamente excluyente o, A ⊢ S significa que S puede derivarse (probarse) como un teorema del sistema axiomático A) Dado U, ( ∃ tu ↔ tu ∈ tu ) (Suponga también que U es el universo/multiverso físico, etc. [lo cual es trivial, ya que todos los conceptos son fenómenos físicos {neurotransmisores, computadoras, etc.}] esto obviamente supone que el platonismo está equivocado, o aún puede clasificarse como físico , es decir, otro universo en el multiverso (trivialmente)) También dado A ⊆ U st A es un conjunto de condiciones iniciales y algunas ecuaciones que describen la progresión de eventos físicos st estas ecuaciones son las restricciones en las cadenas del lenguaje formal asociado con el sistema de axiomas (esto existe trivialmente dado el orden/índice sobre los axiomas, st.t obviamente uno puede escribir un código/ecuación que transforma la cadena de Ax.n a Ax.n + 1. Luego, dadas las condiciones iniciales tienen el índice asociado con ellas, uno puede usar el código/ecuación inductivamente para llegar a cualquier Ax. .m. o se puede probar su equivalencia a la existencia causa y efecto. Entonces ( ( A ⊢ S ) ↔ ( ∃ S ↔ S ∈ tu ) ) ↔ ( ( ¬ ( A ⊢ S ) ) ↔ ( ¬ ( ∃ S ) ) ) , es decir, no existe un solo enunciado que no pueda derivarse de A, es decir, es una axiomatización de todo (el universo físico/respuesta al sexto problema de hilbert). Sin embargo, por el teorema de incompletitud de Godel (ya que obviamente puede probar verdades aritméticas básicas) ( ( ( ∃ ϕ ( A ⊢ ϕ ∧ A ⊢ ¬ ϕ ) ) ↔ ( ∃ ϕ ( ∃ ϕ ∧ ¬ ∃ ϕ ) ) ↔ ( ∃ ϕ ( ( ϕ ∈ tu ) ∧ ( ϕ ∉ tu ) ) ) ) ∨ ( ( ∃ ϕ ( ϕ ∉ tu ) ) ↔ ( ∃ ϕ ( ( ϕ ∈ tu ) ∧ ( ϕ ∉ tu ) ) ) ) ) .

Es decir, el conjunto es incompleto e inconsistente, esto es una contradicción ya que U, por definición, es completo y consistente, por lo que, trivialmente, nuestras ideas de formalismo matemático no tienen una relación biyectiva con los modelos completos de la realidad física y existe una solución negativa para el sexto de Hilbert. problema o existencia y no existencia son equivalentes. Esto también refutaría trivialmente la existencia de una "teoría de todo" y una sola ecuación unificadora, ya que uno podría usar la ecuación como las restricciones sobre las cuerdas en el lenguaje del sistema de axiomas, del cual la ecuación es el único axioma, y ​​( manipulaciones algebraicas/diferenciales et al.) de la ecuación son teoremas.

¿Hay alguna manera de resolver esta paradoja?

Este artículo presenta completamente la paradoja. https://www.academia.edu/11102734/On_undecidable_physical_statements_in_current_matematical_formalism (y también ilustra su importancia y la naturaleza indecidible actual que muestra que es diferente de las preguntas respondidas anteriormente).

Primero, esto podría usar un mejor formato. Segundo, tu pregunta suena así: "Hay un teorema que dice que todo X que es Y tiene el problema Z. Supongamos que tenemos un X que es Y. ¿Es cierto que X tiene el problema Z?"
Entonces, ¿está afirmando que es una tautología trivial?
Sí, creo que es una tautología decir que un sistema de axiomas que resuelve el problema de Hilbert estaría incompleto. Sin embargo, es una cuestión totalmente indecidible si las afirmaciones que son verdaderas pero no pueden probarse deberían preocuparnos, ya que la prueba de Gödel construye un ejemplo muy tonto de inconsistencia (más o menos del tipo "Soy falso").
La numeración de Gödel en la prueba formal no es particularmente tonta ni trivial simplemente porque es recursiva, además, las declaraciones no son necesariamente verdaderas ni falsas y posiblemente podrían ser algún valor o propiedad desconocido o incomprensible.
También parece que está trivializando el problema dado, por ejemplo, uno puede probar que dado el sistema de axiomas equivalente a la mecánica cuántica, esos teoremas de las teorías de la gravitación (relatividad general / especial) pueden no probarse o refutarse dentro del sistema y el resultado inverso para el axioma sistema equivalente a las teorías de la gravitación (relatividad general/especial), demostrando así que no hay resolución de estas dos teorías en el mismo marco y como se dijo en la pregunta inicial no puede existir una teoría universal de la física ("teoría del todo").
@ACuriousMind Este no es un ejemplo de inconsistencia, sino de una declaración indecidible . Un ejemplo mucho menos tonto de una declaración indecidible es la consistencia (de un sistema formal suficientemente fuerte) en sí misma. Ningún ejemplo real de inconsistencia sería tonto, ya que de él se puede derivar cualquier enunciado como teorema.
@doetoe: Ah, lo siento, ha pasado un tiempo para mí lidiar con la lógica formal. Quise decir "tonto" en el sentido de que no es inmediato que cualquier declaración indecidible sea en realidad una declaración sobre el mundo físico; lo más probable es que sean "meta-declaraciones" (como la consistencia del sistema en sí, como usted dice, también es). Para OP: lo que describe podría suceder, ya que no tenemos idea de cómo se vería realmente un sistema de axioma formal para la física. Si la pregunta es "¿Será que no existe una teoría del todo?" la respuesta es (al menos para mí obviamente) "Sí".
¿Es posible, sin embargo, probar la negación de la existencia de la teoría del todo?
la declaración inicial de que C es un subconjunto de U parece muy cuestionable, especialmente sin definiciones exactas de lo que la física querría decir con "concepto" y "codificación". Creo que este problema hace que toda la línea de argumentación sea imprecisa y relativamente inútil. Por ejemplo, el concepto de "ruido" es realmente muy importante para la computación, pero todos los modelos matemáticos de computación lo ignoran. E ignorado por Logic también. Y por Gödel.

Respuestas (2)

La existencia de enunciados indecidibles no significa que no podamos manejar hipotéticamente, agregando axiomas consistentes adecuados, para determinar la verdad de todos los enunciados físicamente relevantes . Supongamos que tienes una teoría. L con una declaración indecidible significativa A , tal que ambos L + A y L + A ¯ (Uso barra para la negación) son consistentes. Entonces puedes elegir cualquiera L + A o L + A ¯ como su nueva teoría (dependiendo de lo que sea más relevante, físicamente).

La declaración indecidible de Gödel, por ejemplo, no parece muy relevante (en mi opinión) para una teoría física, y también el hecho de que la consistencia de la teoría no es demostrable dentro de ella (ya que se puede, en principio, usar forzamiento/impredicatividad para probar consistencia y encontrar la verdad de las complejidades del sistema lógico, incluso si eso significara considerar entidades matemáticas que no son "físicas").

Como ejemplo concreto: ¿le importaría a la física si la hipótesis del continuo generalizado es verdadera o falsa? GRAMO C H es indecidible en Z F C , y Z F C , Z F C + GRAMO C H , Z F C + GRAMO C H ¯ son teorías consistentes. Supongo que no es tan importante cuál elegir para física, pero seguro que necesitas teoría de conjuntos. En cambio, el axioma de elección es más relevante, ya que hay un modelo de Z F + D C (elección confiable) donde todos los conjuntos de reales son medibles (pero por otro lado, tiene dificultades para definir distribuciones), y eso puede ser más relevante físicamente (tal vez ... no lo sé).

El teorema de incompletitud todavía se aplica a (L + A ⊕ L + ¬ A ) por lo tanto, no importa cuántas declaraciones indecidibles agregue como axiomas (siempre que de alguna manera conozca su valor de verdad). En cuanto a la relación "arbitraria" entre (relevancia de) cualquier teorema para la física en general (para no profundizar mucho en la filosofía) si no es relevante, entonces obviamente el sistema de axiomas no cumple con las restricciones definidas sobre él (de alguna manera realidad física y sus modelos trascienden la lógica) entonces ya no es un sistema de axiomas por lo tanto ya no es una "axiomatización de la física"
Además, como cualquier ecuación arbitraria puede transformarse en (reducirse a) un sistema de axiomas, entonces si asumimos que existe una teoría del todo y tiene la forma de alguna ecuación simple arbitraria que tomamos como un axioma (o múltiple, no importa). ) entonces, como la realidad no está limitada por las leyes equivalentes a este axioma (o cualquier sistema de axiomas), entonces no es una teoría del todo, ni siquiera un modelo de la realidad.
en primer lugar, no es cierto que una ecuación se reduzca a un sistema axiomático; una teoría física (o modelo de la realidad) se formula dentro de un modelo lógico dado, si no, no puedes hacer inferencias y por lo tanto mejorar tu conocimiento. lo que digo es que, aunque siempre habrá enunciados indecidibles, en principio puedes imponer a tu sistema la verdad de los físicamente relevantes y comprobar la consistencia de la teoría por medio de las herramientas lógicas como forzamiento. entonces, en mi opinión, la indecidibilidad no le impide obtener una axiomatización completa de la física
y una teoría del todo sería de todos modos un modelo, es decir, un sistema lógico/matemático (con una enorme complejidad de verdad incontable) tal que cada enunciado físicamente relevante es demostrable. obviamente estamos muy lejos de eso...
Si una teoría física se formula dentro de un modelo lógico, los axiomas y las reglas de inferencia de los que se derivarían las ecuaciones y los modelos físicos serían una axiomatización de la física. Además (suponiendo que haya una sola ecuación unificadora), se debe suponer que una sola ecuación es "verdadera" (un axioma) y varias manipulaciones algebraicas o matemáticas serían teoremas o lemas y las reglas matemáticas utilizadas para manipular la ecuación y derivar esos teoremas ( ocurrencias de variables ciertas derivadas, desigualdades, etc.)
serían las reglas de inferencia que acompañan al sistema de axiomas y, por lo tanto, la ecuación (el sistema de axiomas al que es equivalente) todavía está limitada por el teorema de incompletitud y se requeriría alguna forma de análisis ordinal teórico de prueba o un nuevo campo para probar su consistencia y Sin embargo, el sistema sería teóricamente capaz de probar cualquier derivación verdadera o evento que pudiera ocurrir en el mundo físico y, por lo tanto, ¿no estaría ese análisis ordinal teórico de prueba dentro del sistema (teoría de toda la física) y limitado por el teorema de Gödel?
Me temo que no tienes tan claro qué es un sistema lógico. Es un idioma, y ​​sus reglas (como el inglés); y no podrías escribir una ecuación sin definir el idioma. Es mucho más fundamental, es el aparato donde podrías formular tu modelo físico de la realidad (porque de eso se trata la física teórica). Y los enunciados de la teoría lógica son enunciados admisibles en la teoría y así su conjunto sería mucho más grande que los enunciados sobre física. Y entre estas oraciones algunas serán indecidibles.
Si fuéramos capaces de dejar que las oraciones indecidibles fueran solo no físicas, podríamos estar satisfechos, en principio. Obviamente no podemos, por ahora.
No lo entiende, las reglas que restringen las cadenas del idioma serían las ecuaciones (por lo tanto, las ecuaciones definirían el idioma). Por lo tanto, todas las cadenas/declaraciones derivables serían declaraciones físicas.
No estoy convencido de que la física necesite la teoría de conjuntos. Sólo los conjuntos medibles son físicos. Tampoco estoy seguro de si la Física necesita toda la Lógica de orden superior. ¿Quizás solo necesita lógica de primer orden?
@ josephf.johnson La teoría de conjuntos habitual es una teoría de la lógica de primer orden. ¿Y a qué te refieres con conjuntos medibles? De todos modos, las matemáticas se basan en la teoría de conjuntos y la lógica. Por lo tanto, si desea describir el mundo físico mediante las matemáticas, necesita la teoría y la lógica de conjuntos. Puede que no los uses explícitamente, pero siempre están implícitos...

Creo que es interesante plantear esta pregunta en el marco de un universo hipotético muy simple. Supongamos que el universo consistiera, por ejemplo, exclusivamente en esferas perfectamente duras que se mueven según la física clásica y chocan entre sí elásticamente. (Realmente, las reglas específicas de nuestro universo de juguetes no importan por lo que diré, siempre que sean simples y sin ambigüedades).

Por lo que puedo decir, nada nos impide modelar este universo de juguetes con el rigor que deseamos. Pero, ¿sería nuestro modelo una teoría consistente y completa? Y si es así, ¿qué pasa con el teorema de Gödel?

El teorema de Gödel se aplica a los sistemas formales, en los que cadenas de símbolos pueden representar enunciados, pruebas, etc. El universo de los juguetes obviamente no es en sí mismo un sistema formal. Conocer las reglas matemáticas del universo de los juguetes tampoco nos dice inmediatamente cuál es el sistema formal. Entonces, ¿cuál es nuestro sistema formal y, lo que es más importante, cuál será la semántica mediante la cual asignamos sus cadenas a hechos sobre el universo de los juguetes? ¿Y bajo qué condiciones se considerará que el sistema es una descripción "completa" del universo de los juguetes? Tenemos que acordar respuestas precisas a esas preguntas. De lo contrario, creo que la respuesta a la pregunta principal solo puede ser "depende de lo que quieras decir".

Si viviéramos en ese universo de juguetes, ¿estaría justificado decir que tenemos una "teoría del todo"?

Es cierto que parte de las matemáticas utilizadas en la teoría serían aritméticas, y por tanto habría enunciados indecidibles sobre la aritmética. No hay sorpresa allí. Como dice yuggib, esos no son físicamente relevantes. No nos importa que nuestra "teoría del todo del universo del juguete" no pueda decirnos si alguna ecuación diofántica tiene soluciones o no, si no se relaciona con la física del universo del juguete. ¿Qué pasa si lo hizo? ¿Qué pasaría si inventáramos una "computadora" terriblemente complicada a partir de esferas duras, de tal manera que su comportamiento se mapeara en la ecuación diofántica y no pudiera predecirse? ¿Constituiría eso "incompletitud" del modelo?

Bueno, eso te lo dejo a ti para que decidas. Personalmente, considero un modelo matemático de un sistema físico "completo" si nos permite hacer cálculos con la precisión deseada en principio. Entonces, si viviéramos en un universo de esfera dura, diría que poseemos una "teoría del todo". Y además, que cualquier argumento a priori que impida una "teoría del todo" para el universo real debería explicar en qué forma esencial difiere del universo de juguete.

Por supuesto, uno es libre de elegir una definición diferente de "integridad" y decir que un modelo solo estará completo si los resultados detallados de configuraciones/sistemas/situaciones específicas son comprobables. En ese caso, ¡nunca habrá una "teoría del todo" ni siquiera para un universo tan simple como una máquina de Turing!

Me refiero a completo en el sentido de la lógica matemática, es decir, el conjunto máximo consistente de oraciones que modelan la realidad física. Por ejemplo, en su universo de juguetes, uno tomaría las ecuaciones básicas de la física clásica como axiomas y manipulaciones de acuerdo con las reglas de inferencia (tome las reglas de inferencia como las del álgebra (asociatividad, etc.), las del análisis matemático y todas las demás construcciones matemáticas relevantes) como teoremas y lemas, etc. A medida que la teoría esté completa, esas manipulaciones serían representativas de los fenómenos físicos y serían verdaderas en el universo.
Supongo que entonces la pregunta es si vale la pena intentar formalizar la negación de la existencia de una "teoría del todo" usando estos hechos en un artículo o será simplemente una tautología inútil.
Bueno, la computadora probablemente tardaría una eternidad en calcular las soluciones de la ecuación, y el enunciado del teorema de Gödel, aplicado a esa computadora, se convertiría simplemente en un enunciado de "¿Termina?" problema.
@ Jerry Schirmer Las declaraciones indecidibles que surgen del problema de detención aplicado al algoritmo equivalente a las reglas de implicación y el sistema de axiomas para U={x|∃x} con entrada equivalente a un teorema para probar usando esas reglas de implicación aplicadas a esos los axiomas (es decir, el algoritmo) es equivalente a las declaraciones indecidibles que el teorema de incompletitud de godel demuestra que son indecidibles (asumiendo consistencia) y la pregunta también prueba que dan como resultado la misma paradoja (aunque sea trivial, independientemente de la reducibilidad de uno a otro (equivalencia) uno puede probar también si...
...( A i ) es equivalente a decir que el algoritmo A detiene la entrada i dada (triviamente, esto significa que el problema de detención es decidible para una entrada i dada) y A es el algoritmo construido del sistema de axiomas para U con las reglas de implicación e i es un teorema es probar usando las reglas de implicación entonces obviamente ( ∃ i ( ¬ A i ) ) ↔ ( ∃ i ( i ∉ tu ) ) ↔ ( ∃ i ( ¬ ∃ i ) ) que es la misma paradoja que en la pregunta
El sexto problema de Hilbert (las respuestas actuales ignoran el hecho de que CU⊆UCU⊆UC_{U} \subseteq U ) [duplicado]
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