¿Qué importancia tiene la prueba matemática en la física?

Las pruebas matemáticas se relacionan con exactamente cómo se comportará un MODELO. No tienen mucho que ver con el comportamiento del mundo real. Si las matemáticas se realizan correctamente, entonces se ha "probado" cómo se comportará el modelo.

El motivo de la experimentación es averiguar si el MODELO completamente ficticio que alguien simplemente inventó se comporta de alguna manera de la misma manera que las observaciones sugieren que se comporta el mundo real. Si no es así, eso no es una indicación de un error matemático, simplemente significa que el modelo ficticio no es una buena descripción del mundo real y debe cambiarse.

La prueba matemática es para la física más o menos lo que el silogismo (o alguna otra regla de inferencia fundamental) es para la lógica. Es decir, parte de supuestos que modelan nuestra concepción de alguna realidad física y muestra lo que debe ser así si los supuestos se mantienen, pero no puede decir nada sobre los propios supuestos subyacentes. dmckee dio un ejemplo simple en su comentario:

Si una prueba matemática no está de acuerdo con el experimento, no dice nada sobre la prueba o la física. Dice que la física no está bien modelada por esa matemática. Si probó un hecho sobre los campos vectoriales y el comportamiento físico difiere de la predicción, entonces su objeto físico no es un campo vectorial .

Uno siempre debe probar los resultados de las "pruebas matemáticas" de la física con el experimento. De hecho, se podría argumentar que la construcción de tales pruebas matemáticas es el trabajo principal realizado por los físicos teóricos, y la única razón para construirlas es descubrir qué predice la teoría en cuestión que es falsable (consulte la página Wiki sobre falsabilidad) . Hay dos "experimentos" que deben realizarse en tal "prueba":

1. Pienso en el proceso de revisión por pares, así como en una historia de prueba independiente de un argumento teórico, como un "experimento" importante para probar la solidez matemática de las inferencias hechas en tales "pruebas". Muchas reflexiones teóricas hoy en día se basan en muchos resultados matemáticos a la vez y las pruebas matemáticas en sí mismas (testigo, por ejemplo, el teorema de Wiles ) pueden ser del tamaño (en bits, medido, digamos por codificaciones Mizar o MetaMath de tales pruebas) de bibliotecas de software pequeñas a medianas. . Como tales, no se quedan atrás, en cuanto a complejidad, cosas como los sistemas operativos y el software de control de redes de telecomunicaciones que se clasifican como los objetos de mayor complejidad jamás construidos por humanos (ver nota al pie). Si la "prueba" falla esta prueba experimental, es por definición, NOuna demostración matemática.
2. Una vez que la prueba se considera sólida por revisión por pares y reproducción independiente, los resultados experimentales que siguen a la conclusión de la prueba deben reproducirse en el experimento.

Entonces, en resumen, el proceso de verificación experimental es lo que distingue a las matemáticas y la física.

Tenga en cuenta que incluso si la prueba "falla" en el paso 2, ha sido invaluable para la física porque luego se convierte en una prueba por contradicción , es decir , nos dice que una o más suposiciones que subyacen a la prueba deben ser incorrectas y, por lo tanto, nuestras ideas sobre lo que realmente sucede. está pasando en el experimento necesita ser revisado. La prueba en sí misma, si se demuestra que es así en el paso 1 anterior, no puede ser "incorrecta".

Para responder tu pregunta:

¿Hay ejemplos de cosas que han sido probadas matemáticamente con un grado razonable de rigor (por ejemplo, satisfacer a un matemático) que resultaron ser falsas en base a un experimento?

Como se discutió en el paso 1 anterior, no hay "pruebas matemáticas" en física que sean incorrectas. Si sus predicciones y los resultados experimentales se contradicen entre sí, entonces las suposiciones están equivocadas. Sin embargo, aquí hay dos ejemplos famosos de cómo interactúan las pruebas de "fallo" y la física:

1. Para ver un ejemplo de algo que finalmente falla en el paso 1 anterior, piense en el postulado paralelo de Euclides (vea la página Wiki de este nombre, particularmente bajo el título "historia" ). Muchos matemáticos propusieron "pruebas" de que este postulado se seguía de los otros postulados de Euclides, porque les parecía que el postulado de las paralelas no era evidente y debería seguirse de los demás. A veces, las pruebas en cuestión fueron aceptadas por la comunidad científica como sólidas durante mucho tiempo hasta que alguien encontró la falla en ellas. Después de Lobachevskymostró que la geometría hiperbólica era un sistema de axiomas sólido que cumplía con todos los postulados de Euclides pero NO con el de las paralelas, los matemáticos del siglo XIX, como Gauss, Riemann y Clifford, tomaron la independencia del postulado de las paralelas tan en serio que lo consideraron como física teórica . así como las matemáticas, es decir , que era como una prueba que aprobaba el paso 1, pero fallaba en el paso 2 , es decir , desafiaba la noción de que Euclides modeló nuestro mundo físico. Gauss incluso hizo encuestas sensibles para comprobar que los ángulos en triángulos grandes experimentalmentesumado a media vuelta. Hoy en día, no solo la Relatividad General con su geometría generalmente curva no euclidiana es la corriente principal de la física, sino que las interpretaciones geométricas no euclidianas de las teorías de calibre junto con la panoplia de técnicas que trae consigo el lenguaje de la geometría diferencial son parte de la física teórica básica;
2. Un buen ejemplo de la interacción sutil entre el razonamiento matemático y las pruebas experimentales es la historia de la idea del realismo local y la mecánica cuántica, como lo prueba el argumento de von Neumann contra la idea de las variables ocultas y la paradoja EPR que conduce al trabajo de John Bell y las violaciones experimentalmente probadas de su desigualdad, por lo tanto, haciendo que la idea del realismo local sea cada vez más difícil de sostener. Todas estas ideas involucraron razonamientos lógicos y matemáticos para predecir resultados experimentales que la gente había pensado anteriormente que eran absurdos y, por lo tanto, mejoraron enormemente nuestra comprensión de la física cuántica. Consulte las siguientes páginas de Wikipedia para obtener un resumen: Teorema de Bell , John Stewart Bell , la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosenasí como el artículo de David Mermin, "¿Está la luna allí cuando nadie mira? La realidad y la teoría cuántica" , Physics Today, abril de 1985.

Las matemáticas a través de todos estos procesos nos ayudan a aclarar las sutiles minucias de los significados presentes en nuestras suposiciones físicas que a veces damos por sentadas.

Por último, por supuesto, Mathematical Proof puede verse como una especie de "asesor de inversiones": nos dice dónde poner nuestro trabajo más duro y otros recursos en el experimento. A menos que tenga una razón para cuestionar finamente una suposición física A que parece ya respaldada por un experimento, un experimento que pruebe los resultados lógicos de combinar la suposición A y la suposición B mediante razonamiento matemático es un uso mucho mejor del tiempo y el trabajo que un resultado predicho que puede demostrarse que es lógicamente equivalente a la suposición A, ya respaldada experimentalmente.

Nota al pie: Preveo el desarrollo de pruebas automatizadas y la verificación mediante cosas como los sistemas de prueba de software como importantes para la física en el futuro. Según tengo entendido, muchas partes de la Teoría de Cuerdas sufren de este tipo de problema, que son difíciles de revisar por uno o unos pocos revisores solos. Afortunadamente, aunque los sistemas de desarrollo de pruebas son sorprendentemente complejos, el software de verificación de pruebas en sí mismo es un analizador simple que se puede reducir a una o dos páginas de código y, por lo tanto, se puede depurar a fondo experimentalmente, por lo que no importa cómo se construyan las pruebas. ya que el analizador los considera válidos.