Hilbert, Gödel y las "ecuaciones de Dios": ¿una lección del siglo XIX para los físicos del siglo XXI?

Primero con respecto a: ¿Hay alguna apreciación de cómo los teoremas de incompletitud podrían aplicarse a la física?

Para poner esto en perspectiva, imagina que Newton dijo: "Oh, parece que mi$F = m a$es más o menos una teoría de todo. Así que ahora podría saber todo acerca de la naturaleza si tan solo estuviera garantizado que todo sistema formal suficientemente fuerte y consistente es completo".

Y luego Lagrange: "Oh, se parece a mi$\delta L = 0$es más o menos una teoría de todo. Así que ahora podría saber todo acerca de la naturaleza si tan solo estuviera garantizado que todo sistema formal suficientemente fuerte y consistente es completo".

Y luego Schrödinger: "Oh, parece que mi$i \hbar \partial_t \psi = H \psi$es más o menos una teoría de todo. Así que ahora podría saber todo acerca de la naturaleza si tan solo estuviera garantizado que todo sistema formal suficientemente fuerte y consistente es completo".

Etcétera.

El punto es que lo que impidió a los físicos hace 300 años, 200 años, 100 años saber en principio todo sobre la física nunca fue un teorema de incompletitud, sino que siempre fueron dos cosas:

1. en realidad todavía no tenían una teoría fundamental;

2. ni siquiera tenían todavía las matemáticas para formular lo que más tarde se entendió como la teoría más fundamental.

El teorema de incompletitud de Gödel es muy parecido a "$E = m c^2$" en la cultura pop: a la gente le gusta aludir a ella con un vago sentimiento de profunda importancia, sin saber realmente cuál es el impacto. La incompletud de Gödel es una declaración sobre la relación entre el metalenguaje y el "lenguaje objeto" (es el metalenguaje que permite que uno saber que una declaración dada "es verdadera", después de todo, ¡incluso si no se puede probar en el lenguaje objeto!). Incluso para apreciar esta distinción, uno tiene que profundizar un poco más en la lógica formal de lo que normalmente veo que hacen las personas que se sobre su relevancia para la física.

Y la historia anterior sugiere: en cualquier caso, es prematuro preocuparse por los detalles finos de la lógica formal mientras la candidata a formalización de la física que actualmente tenemos sea manifiestamente insuficiente, y en particular mientras parezca plausible que en 100 años Desde ahora, la física fundamental se expresará en nuevas matemáticas en comparación con las herramientas actuales de la física matemática que parecen tan obsoletas como las de hace 100 años para nosotros ahora. Simplemente abra un libro de texto de física teórica de finales del siglo XIX al siglo XX para ver que con nuestro conocimiento sobre física habría sido risible para la gente en ese entonces preocuparse por la incompletitud. Tenían que preocuparse por aprender álgebra lineal y geometría diferencial.

Y esto conduce directamente a

segundo: ¿Se ha logrado algún progreso en el sexto problema de Hilbert para el siglo XX?

Recientemente había estado dando algunas charlas que comenzaron considerando esta pregunta, vea los enlaces en mi sitio en Teoría del campo cuántico sintético .

Una respuesta es: ha habido un progreso considerable (vea la tabla justo al comienzo de las diapositivas o también en esta nota de charla ). Muchos aspectos centrales de la física moderna tienen una formulación matemática muy limpia. Por ejemplo, la teoría de calibre está firmemente capturada por la cohomología diferencial y la teoría de Chern-Weil, la TQFT local por la teoría de categorías monoidales superiores, etc.

Pero dos cosas son notables aquí: primero, las matemáticas que formalizan aspectos de la física fundamental moderna involucran las joyas de la corona de las matemáticas modernas, por lo que podría estar pasando algo profundo, pero, segundo, estas ideas siguen siendo fragmentarias. Hay un campo de las matemáticas aquí, otro allá. Uno podría tener la idea de que de alguna manera todo esto quiere ser ensamblado en una historia formal coherente, solo que tal vez el tipo de matemáticas que se usa en estos días no es suficiente para hacerlo.

Este es un punto de vista que, más o menos implícitamente, ha impulsado la obra de vida de William Lawvere . Es famoso entre los matemáticos puros por ser el fundador de la lógica categórica, de la teoría del topos en la lógica formal, de los fundamentos estructurales de las matemáticas. Lo que, por alguna extraña razón, es casi desconocido, sin embargo, es que todo este trabajo suyo ha sido inspirado por el deseo de producir unos fundamentos formales para la física. (Ver en el nLab en William Lawvere - Motivación desde los fundamentos de la física ).

Creo que cualquiera que esté genuinamente interesado en los fundamentos matemáticos formales de la física y se pregunte si es posible una formalización fundamental y, lo que es más importante, si puede ser útil, debería intentar aprender lo que Lawvere tiene que decir.

Por supuesto, leer Lawvere no es fácil. (Al igual que leer una conferencia moderna sobre QFT no sería fácil para un físico del siglo XIX si hubiera sido catapultado a nuestra era...) Así es como funciona cuando profundizas en los cimientos, si realmente estás progresando, entonces no podrá volver y explicarlo en cinco minutos en Discovery Channel. (Como en Feynman: si pudiera decirles en cinco minutos qué me hizo ganar el Nobel, entonces no lo habría hecho).

Puede comenzar con la nota en el nLab: " Topos superiores de las leyes del movimiento " para tener una idea de lo que son los fundamentos de la física de Lawver.

Un poco más adelante este mes daré varias charlas sobre este tema de fundar formalmente la física moderna (teoría de campos cuánticos de calibre Lagrangiano local) en las matemáticas fundamentales de una manera útil. Las notas para esto se titulan Homotopia-type semantics for quantization .

Solo puedo hablar desde mi experiencia personal (lo que parece bastante justo ya que esta pregunta es subjetiva). La mayoría de los físicos que conozco, incluido yo mismo, son mucho más humildes sobre lo que la física sabe ahora y sabrá en el futuro en comparación con los "físicos famosos" que mencionó.

Es bastante fácil ver a partir de la historia del campo que cada vez que pensamos que estamos cerca de explicarlo todo, se observa algo nuevo o alguna pequeña inconsistencia abre una nueva rama de la física. A partir de estas experiencias, me parece muy dudoso que alguna vez nos acerquemos a impulsar la capacidad de una teoría hasta el punto en que tengamos que preocuparnos por los teoremas de Goedel (es decir, preocuparnos por la integridad; después de todo, podría ser fácilmente el caso de que las declaraciones de verdad que nuestra teoría no puede predecir no son relevantes para nuestro universo, es decir, experimentos). Además, todavía tengo que escuchar una buena definición de lo que queremos decir con "una teoría". Después de todo, QFT es mucho más un marco y el modelo estándar es solo una de las muchas aplicaciones posibles de ese marco. Ajustamos el Modelo Estándar para ajustarnos a nuestro universo observado. Entonces, ¿qué quieren decir exactamente esos físicos con una "ecuación de dios"? ¿Significan un marco del que pueden surgir múltiples ecuaciones?

Supongo que estoy respondiendo preguntas con preguntas, pero es solo para señalar que estas "teorías de los sueños" pueden idealizarse hasta el punto del mito.

Me parece que en el futuro lo más probable es que ocurra algún marco o lenguaje que pueda usarse para describir la gravedad y la energía oscura además de las otras fuerzas. Este marco se aplicará a algunos modelos estándar versión 2 que incorporan materia oscura y otra materia observada. Eso no significa una ecuación. Simplemente significa una manera unificada de pensar acerca de las cosas. Es probable que conduzca a muchas ecuaciones con una buena cantidad de suposiciones que se asumen solo porque predicen con precisión el experimento.

La pregunta ¿Hay algún sentido entre los físicos de que podría ser imposible articular la "naturaleza última de la realidad" en ecuaciones y lógica formal? se trata de una creencia (como la fe de una religión) que la mayoría de los físicos pueden o no tener. Al igual que los físicos tienen muchas creencias diferentes, creo que los físicos tienen creencias diferentes sobre este tema. Entonces es difícil responder sí o no, ya que los físicos no tienen una opinión común.

Sin embargo, creo que muchos físicos comparten la opinión de Dao-De-Jing 道德经 sobre un tema relacionado:

Hace 2500 años, Dao-De-Jing 道德经 expresó el siguiente punto de vista: (traducción al inglés)

El Dao que se puede afirmar no puede ser el Dao eterno.

El Nombre que se puede dar no puede ser el Nombre eterno.

El no ser sin nombre es el origen del universo;

El ser nombrado es la madre de todas las cosas observadas.

Dentro del no ser, disfrutamos del misterio del universo.

Entre el ser, observamos la riqueza del mundo.

El no ser y el ser son dos aspectos de un mismo misterio.

Del no ser al ser y del ser al no ser es la puerta de entrada a todo entendimiento.

Aquí DAO ~ "naturaleza última de la realidad". Entonces, el punto de vista es que existe la "naturaleza última de la realidad". Pero cualquier descripción concreta (o actual) de la "naturaleza última de la realidad" en términos de ecuaciones y lógica formal no es una descripción fiel de la "naturaleza última de la realidad".

Los físicos han estado tratando de acercarse aproximadamente a la "naturaleza última de la realidad" (o DAO). Mi intento es una unificación de información (cuántica) y materia: http://blog.sciencenet.cn/blog-1116346-736093.html

"Matrix" es una historia de dos mundos: un mundo material real y un mundo de información virtual (dentro de las computadoras). El mundo material real está formado por partículas elementales. El mundo virtual de la información está formado por bits. (Mi punto de vista) de hecho, el mundo material real no es real, el mundo de la información virtual es más real. El mundo material y el mundo de la información son en realidad el mismo mundo. Para ser más precisos, nuestro mundo es un mundo de información cuántica:

• Espacio = una colección de muchos qubits.
• Vacío = el estado fundamental de los qubits.
• Partículas elementales = excitaciones colectivas de los qubits.

En otras palabras, toda la materia está formada por las excitaciones de los qubits.

Vivimos dentro de una computadora cuántica.

"realidad última" = qubits, "ecuación de Dios" = ecuación de Shreodinger

-- este es UN enfoque aproximado a la "naturaleza última de la realidad" (o DAO).

La historia de la física muestra que cada generación de físicos, tanto teóricos como experimentales, creen en algún momento que han encontrado el santo grial o están muy cerca de encontrarlo. Ciertamente esto era cierto en el siglo XIX cuando reinaban las matemáticas y las teorías eran tan completas y hermosas que se pensaba que todo lo que quedaba eran aplicaciones de teorías conocidas. Ese es un tipo de arrogancia.

Lo que cambió el juego fueron los experimentos más nuevos y mejores que mostraron inconsistencias en las predicciones de su Teoría del Todo (TOE).

Es justo suponer que el objetivo siempre será un TOE, y suponer que los datos experimentales nuevos y mejores abrirán una y otra vez el alcance de lo que describe el TOE. Porque hay que decir esto: en los límites de los dominios experimentales de sus aplicaciones, las teorías más nuevas y las teorías más antiguas se mezclan, por lo general se muestra que las más antiguas emergen de las más nuevas (como, por ejemplo, la termodinámica de la mecánica estadística). Hay consistencia en nuestras teorías.

Ahora, en cuanto a Godel y su teorema, que recuerdo de mi curso de matemáticas en la forma "el conjunto de todos los conjuntos es abierto", aplicado a un TOE no es inconsistente con la vista anterior. Sin embargo, pase lo que pase, llegaremos a los límites de nuestras posibles verificaciones experimentales y la apertura será un punto discutible, yendo hacia la metafísica.