¿Puede una prueba matemática reemplazar la experimentación?

No. La física sigue siendo una ciencia experimental y, por lo tanto, no es posible reemplazar el experimento por una demostración. Descartes intentó esto cuando propuso su teoría de la propagación de la luz, muy elegante, pero predijo incorrectamente que el ángulo aumentaría cuando la luz pasara a un medio ópticamente más denso. De hecho, la historia cuenta que se negó a asistir a una manifestación que lo mostró equivocado.

Una prueba rigurosa es esencial para comprender y ampliar adecuadamente algunos aspectos (y posiblemente algunos límites) de una teoría, y arrojar luz sobre cómo se pueden vincular y explicar los fenómenos, pero no tiene aplicaciones físicas si predice algo que contradice el experimento.

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Editar: Hay una discusión relacionada en este documento por David Mermin:

Mermín ND. Lo malo de este hábito. La física hoy. 2009 1 de mayo; 62 (5): 8-9.

Si solo hace suposiciones que se han verificado experimentalmente (hasta un alto grado de precisión), entonces una prueba puramente matemática podría estar bien. Sin embargo, hay dos problemas con esto:

1) La mayoría de las veces no todas las suposiciones pueden verificarse experimentalmente (por ejemplo, los axiomas de la mecánica newtoniana)

2) Si solo puede realizar mediciones hasta cierto grado de precisión, nunca estará realmente seguro de que sea correcto.

En opinión del filósofo de la ciencia, Karl Popper, es fundamentalmente imposible probar/confirmar cualquier suposición o hipótesis sobre la física o el mundo en general. A partir de un conjunto de suposiciones (es decir, las leyes de Newton), un científico puede probar que SI este conjunto de suposiciones es válido, ENTONCES ciertos resultados deberían ocurrir en el mundo real.

Si se realiza un experimento con un resultado negativo, la predicción ha sido refutada y una o más de las suposiciones de las que se derivó deben ser incorrectas. Si un resultado positivo "no logra refutar" la predicción, nuestra confianza en el conjunto de suposiciones aumenta en relación con los conjuntos de la competencia . Obviamente, la ganancia de confianza aumenta con la especificidad (y, por lo tanto, la "fácil de refutar") de las predicciones. Sin embargo, ninguna cantidad de resultados positivos puede jamás "probar" que las suposiciones son correctas. Siempre podría haber algún otro sistema físico, donde el modelo falla.

Por ejemplo, a partir de la ley de la gravedad de Newton, los astrónomos victorianos podían predecir con mucha precisión el movimiento de la Luna y de otros planetas. Sus modelos constantemente "no pudieron ser refutados". Sin embargo, finalmente notaron que la órbita de Mercurio no se comportaba como lo hubiera predicho Newton. La Relatividad General de Einstein proporcionó un nuevo conjunto de suposiciones, a partir de las cuales se puede derivar una predicción muy específica sobre la órbita de Mercurio (diferente de la newtoniana) que "no pudo ser refutada" por los datos. Utilizando las suposiciones de Einstein, se pueden derivar descripciones de las órbitas planetarias, que son casi equivalentes (pero ligeramente mejores) que las newtonianas. Incluso hace predicciones adicionales y novedosas, como lentes gravitacionales, otra afirmación muy específica y fácilmente refutable. que, sin embargo, no puede ser refutado por los datos. Nada de esto prueba fundamentalmente que las suposiciones de la relatividad general sean correctas/completas y su incapacidad para describir el interior de los agujeros negros podría ser una señal de que se necesita un mejor conjunto de suposiciones.

En resumen: a partir de un conjunto de suposiciones, se pueden derivar predicciones sobre el mundo real. Si los experimentos demuestran que las predicciones (y, por lo tanto, las suposiciones) son incorrectas, se puede elegir un conjunto diferente (y con suerte mejor). Los resultados positivos no prueban/validan experimentalmente las suposiciones, pero deberían inspirar a un buen científico a derivar predicciones aún más específicas de ellas y someterlas a pruebas cada vez más estrictas.

La ciencia tiene mucho que ver con la creación de modelos. Un modelo es un conjunto de ideas dentro de las cuales la prueba matemática puede ser posible y se usa para mostrar cómo una característica implica otra dentro del modelo. Pero no es posible probar matemáticamente que el modelo describe correctamente el mundo físico.

Tu ejemplo del triángulo rectángulo es bueno. Dentro del conjunto de ideas de la geometría plana, indudablemente se cumple el teorema de Pitágaro. Pero la geometría plana no describe el espacio-tiempo.

Incluso si tuviéramos un modelo teórico más elegante y sofisticado, uno que pareciera ser capaz de capturar la naturaleza de todos los fenómenos físicos, no sería posible probar que esa apariencia es confiable.

Un tema relacionado es el de los fundamentos de la lógica: los teoremas de Godel. ¡Ni siquiera podemos probar que las matemáticas en sí sean consistentes! Este no es el mismo problema que el de la creación de modelos en la ciencia, pero ilustra el hecho de que aquí confiamos en la confianza, no en la prueba. Es decir, confiamos en que las matemáticas sean consistentes.

En el nivel de la física básica entran en juego otras sutilezas. ¿Cómo sabemos que la naturaleza del mundo físico puede ser capturada en su totalidad por las matemáticas? No sabemos eso. Esto no quiere decir que debamos perder el tiempo en especulaciones ociosas, sino que nos anima a mantener cierta conciencia de los límites de lo que sabemos.

Construir sobre las matemáticas de modelos previamente probados es, de hecho, algo que se hace. Se llama ingeniería. Lo hacemos literalmente todo el tiempo.

La diferencia es que en ingeniería, estamos tratando de hacer el mejor producto posible dentro de algunas limitaciones, mientras que un científico teóricamente busca la verdad. Por lo tanto, en ingeniería hay una gran cantidad de análisis de costo/beneficio que se llevan a cabo, que incluye "lo que sucede cuando nuestras suposiciones fallan".

¿Quieres un gran ejemplo de su falla? El puente de Tacoma Narrows. Usamos nuestras matemáticas, hicimos el rigor y nuestras matemáticas simplemente no estaban en línea con la realidad.

En ingeniería, tenemos un proceso llamado Verificación y Validación (V&V). La verificación se puede hacer matemáticamente, mientras se esfuerza por asegurarse de que su modelo no intente hacer triángulos rectángulos que violen el teorema de Pitágoras (es decir, ¿la ecuación se resuelve correctamente?). La validación se trata más bien de averiguar si el modelo responde correctamente a las preguntas deseadas (es decir, ¿se está resolviendo la ecuación correcta?). Nunca podemos saber con certeza qué tiene la realidad debajo de la próxima roca a menos que miremos debajo de ella.

Cualquier buena ciencia matemática pura, como los esfuerzos de ToE en curso en este momento, eventualmente se "califican" según su capacidad para hacer predicciones interesantes para salir y probar.

En términos prácticos, encontramos que las matemáticas puras y la experimentación se entrelazan en una danza complicada como el yin y el yang. Hay aspectos de la ciencia que son mucho más matemáticos que experimentales (como la teoría de cuerdas), y otros aspectos que son más experimentales que matemáticos. Pero siempre son una mezcla.

¿Hay algún caso en el que la prueba matemática pueda reemplazar la experimentación?

Sí.

Cada vez que se puede probar que alguna proposición$P$está implícito en una premisa$A$, y$A$es verificable experimentalmente, entonces nunca necesita verificar experimentalmente$P$. Verificando$A$es bastante bueno.

Por ejemplo, la Ley de Gauss,$\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\epsilon_0}$, se puede demostrar por la ley de Coulomb:$E = \frac{Q \hat{r}}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$, y viceversa. Son declaraciones equivalentes . La ley de Gauss es difícil de verificar en un laboratorio (es difícil medir el flujo del campo eléctrico sobre una superficie completa), pero la ley de Coulomb es bastante fácil de verificar (es fácil observar la ley del cuadrado inverso de una carga). Debido a que está probado que la ley de Coulomb implica la ley de Gauss, en principio, nunca necesita verificar la ley de Gauss directamente; solo puede verificar la ley de Coulomb, y tendrá tanta confianza en la ley de Gauss como en la de Coulomb, porque tiene pruebas de que está implícita en la ley de Coulomb.

Ahora, una objeción a este ejemplo podría ser:

Pero esto es simplemente trivial. Dado que la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes, la verificación experimental de la ley de Coulomb es una verificación experimental de la ley de Gauss.

Está bien, eso es cierto, pero sin la prueba de equivalencia, no es nada obvio. Si no tuviéramos la prueba de que la ley de Coulomb implica la ley de Gauss, necesitaríamos hacer una verificación experimental en ambos por separado. Y, debido a que es más difícil verificar la ley de Gauss que la ley de Coulomb, probablemente confiaríamos menos en la primera que en la segunda. Este es un ejemplo de una prueba matemática que reemplaza la verificación experimental.

Ahora, mi ejemplo toma un escenario en el que dos declaraciones se implican mutuamente, pero esto es cierto en general cuando la implicación de una proposición por una premisa es unilateral y solo necesita verificar experimentalmente la premisa. Aunque no estoy seguro de si hay muchos ejemplos de eso.

En general, sin embargo, las pruebas matemáticas no pueden reemplazar por completo la validación experimental; siempre necesitas validación experimental para cualquier teoría, y mucha .

Solo quería agregar este apéndice para justificar por qué mi respuesta es básicamente lo contrario de todas las demás respuestas bien escritas y altamente votadas. Creo que es porque, en general, intentan abordar un malentendido del OP, que se ilustra bien en esta cita:

La razón por la que pregunto esto es porque la mayoría, si no casi todos los ToEs en física teórica, prácticamente solo tienen sus matemáticas a su favor. La más infame por esto es la teoría de cuerdas. Si la teoría de cuerdas pudiera demostrarse matemáticamente de la forma en que la presenté, y esta demostración se repitió de forma independiente y superó la prueba del tiempo de la misma manera que lo ha hecho el teorema de Pitágoras, ¿necesitamos pasar por todo el problema de hacer un experimento?

Bien, déjame desglosar esto un poco. Nunca probarás matemáticamente una teoría física. Solo puedes probar un teorema, y ​​los teoremas son simplemente mapas entre proposiciones: si la proposición$A$es verdadera, entonces la proposición$B$es verdad. No puedes usar una prueba para crear una proposición de la nada. Todas las teorías físicas deben comenzar con proposiciones (las llamamos "axiomas" o "postulados"). Un modelo se construye comenzando con postulados y luego demostrando matemáticamente muchas consecuencias de esos postulados. Generalmente no se pueden probar los postulados. Si lo hace, entonces ya no son postulados, y necesitaba nuevos postulados para hacerlo de todos modos. (Esto generalmente sucede cuando pasamos a una teoría más general cuyos postulados son más simples o tienen más poder explicativo; por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell son postulados para la electrodinámica clásica, pero la electrodinámica cuántica tiene postulados más amplios a partir de los cuales se pueden derivar las ecuaciones de Maxwell).

Por esta razón, siempre necesitará una verificación experimental. Y, por lo general, no tiene el poder de implicación transitivo limpio que describí anteriormente. Por lo general, los postulados son muy difíciles de verificar experimentalmente y sus consecuencias son mucho más fáciles de verificar. Arriba, dije que si la premisa$A$prueba proposición$B$y se puede verificar experimentalmente$A$, entonces no necesita verificar$B.$Pero muy a menudo (especialmente si$A$es un postulado),$B$es más fácil de verificar que$A$. Pero la verificación de$B$no verifica equivalentemente$A$. Más bien, la falta de verificación$B$, o verificando que$B$es falso verifica que$A$es falsa debido a la contrapositiva implícita. (Así es como, por ejemplo, la teoría de la luz del Éter fue desacreditada por el experimento de Michelson y Morley, al mostrar que una de sus consecuencias es falsa).

Verificando$B$solo no necesariamente verifica$A$porque, podría haber algún otro postulado,$C$eso también implica$B$. La única excepción a esto es si$A$y$B$se implican mutuamente y, por lo tanto, son equivalentes, como mi ejemplo de la ley de Coulomb/Gauss. Pero, en general, para ayudar a construir nuestra "confianza" en alguna premisa$A$, asumiendo que no podemos verificar$A$directamente en el laboratorio, queremos verificar muchas de las consecuencias de$A.$Aunque nunca ganaremos tanta confianza en$A$como lo hacemos en cualquiera de sus consecuencias porque, por cada consecuencia$B$de$A$, podría haber algún otro conjunto de premisas que impliquen$B$. Esto es lo que hace que la verificación de una teoría científica sea muy difícil.

Con tu experimento solo puedes decir que tus experimentos apoyan la teoría, no que la prueba. Los experimentos pueden estar de acuerdo con las teorías por muchas razones, no siempre porque las suposiciones sean correctas. En áreas en las que muchos experimentos dan los resultados predichos, puede tener una gran confianza en que un teorema de su teoría estará de acuerdo con el experimento, pero nunca puede estar 100% seguro. Si encuentra un triángulo que viola a Pitágoras, podría deberse a que el espacio es curvo y no euclidiano, como predice la relatividad general.

Quizás la lógica no se puede usar para confirmar una teoría, pero se puede usar para refutarla.

Dado y asumido cierto modelo de realidad física, la lógica puede usarse para encontrar una contradicción en ese modelo que lleve a la conclusión de que uno debe rechazar la teoría. De hecho, una contradicción lógica, dados los supuestos, corresponde a una contradicción física.

Estamos siendo testigos de un estado de cosas similar con la paradoja de la información del agujero negro. Aunque en ese caso no tenemos una teoría completa (gravedad+cuántica) para entender completamente el fenómeno.

Una teoría o modelo físico se basa en suposiciones. Por métodos matemáticos usted puede hacer predicciones. Incluso si la parte matemática es sólida, aún necesitará resultados experimentales para verificar o desafiar sus suposiciones.

Creo (el énfasis se explicará a continuación) que lo más importante que hay que darse cuenta al pensar en esta pregunta es que se trata de físicos y no de física . En otras palabras, es una pregunta sobre la filosofía y la práctica de cómo nosotros, como humanos, hacemos y pensamos sobre la ciencia, más que sobre el mundo natural en sí.

La filosofía de la ciencia está bastante bien establecida hoy en día. Lo llamamos " el método científico ". Si bien es importante darse cuenta de que es una filosofía que no se puede probar, con posibles trampas ( se sabe que los científicos cometen errores), no llegará muy lejos al tratar de convencer a alguien de que la abandone, porque en general ha demostrado ser bastante exitosa. Aunque el método científico toma muchas formas (ver la página de Wikipediapara la discusión de esto), es bastante inequívoco acerca de la necesidad de una prueba experimental. El método científico se considera superior a las formas alternativas de adquirir conocimiento (como la razón pura de los antiguos griegos) esencialmente por su estricta responsabilidad para experimentar. Hay muchas teorías atractivas que apelan a la lógica, pero se consideran falsas porque no se ajustan a la realidad. Hay muchas razones para esto: falibilidad humana, información incompleta, ego, política, etc.

Como anécdota ilustrativa, he estado disfrutando de un audiolibrorecientemente sobre el desarrollo de un campo llamado "economía del comportamiento". A mediados del siglo XX, los economistas habían desarrollado modelos de fenómenos económicos que asumían que todas las personas involucradas eran perfectamente racionales y tenían información perfecta. Esto fue extremadamente conveniente y el formalismo matemático condujo a muchos resultados elegantes. Solo había un problema: muchos de estos elegantes resultados eran falsos. Por ejemplo, una predicción de la teoría económica estándar era que las burbujas no podían existir en el mercado de valores, lo cual fue refutado drásticamente con la caída del mercado de 2007-2008. Curiosamente, no todos los economistas creían en esta teoría económica clásica, e incluso los disidentes habían realizado bastantes experimentos de laboratorio para demostrar que las personas no actúan tan racionalmente como suponían los modelos económicos convencionales.debe comportarse para ser matemáticamente lógico y conveniente. Para mi sorpresa como físico, la mayoría de los economistas ignoraron por completo la economía del comportamiento durante muchas décadas, sin ninguna razón particularmente buena. Los datos mostraron claramente que la economía del comportamiento era experimentalmente sólida, pero debido a una mezcla de egoísmo y el deseo de que cierta teoría fuera cierta, no fue hasta hace poco que tales datos experimentales llegaron a ser considerados convencionales.

Incidentes como los anteriores no son exclusivos de la economía. El respaldo de Newton a la teoría particular de la luz llevó a muchos físicos por mal camino durante décadas hasta que Fresnel y Young demostraron definitivamente que la teoría ondulatoria era correcta. Boltzmann citó este ejemplo al defender sus propias opiniones impopulares sobre la mecánica estadística y, en retrospectiva, acertó. Incidentes como estos son la razón por la que casi todos los físicos estarían de acuerdo en que toda teoría debe confirmarse mediante experimentos. Los seres humanos son falibles, no importa lo inteligentes que crean que son. La historia está plagada de instancias de hipótesis no probadas pero atractivas que llevan a la gente por mal camino durante décadas antes de ser refutadas (éter, universo estático, tal vez WIMP, etc.)

Incluso cuando una prueba parece irrefutable, puede darse el caso de que haya factores que simplemente no tomamos en cuenta en nuestra prueba. Otra historia habla de Euler calculando cómo hacer la plomería para su patrón. Calculó las matemáticas a la perfección, por supuesto, pero el artilugio que diseñó no funcionó en absoluto. Los factores no ideales que Euler había dejado fuera de su modelo resultaron importantes.

El hecho de que sigan ocurriendo tantos errores de este tipo muestra que, en la práctica, las personas no están viviendo de acuerdo con el estándar que predican. Especialmente para teorías bien establecidas, un argumento matemático de por qué algo debería ser de cierta manera a menudo se toma como un evangelio. Creo que esto es especialmente cierto en el caso de los teoremas de imposibilidad o "no-go". Por ejemplo, el concepto detrás del " Levitron"Algunos pensaban que el juguete era imposible, hasta que alguien hizo uno que funcionó. El problema con los teoremas de no-go es que, si estás tratando de probar que algo como la levitación es imposible, es muy, muy difícil considerar todos los conjuntos posibles de circunstancias Hay innumerables efectos complicados en la física (como, en el caso de Levitron, la precesión giroscópica) que pueden afectar sutilmente su análisis, y estar realmente seguro de que ha tenido en cuenta cada uno de esos efectos es absurdamente difícil.

Para aclarar el punto anterior: el problema con una prueba matemática no es que la naturaleza de alguna manera demuestre que las matemáticas son incorrectas. Siempre es que puede haber una manera de invalidar las hipótesis bajo las cuales se llevó a cabo la prueba. Entonces, si nunca tratáramos de extender los resultados matemáticos conocidos más allá de las hipótesis bajo las cuales sabíamos que eran ciertos, no tendríamos ningún problema. Pero siendo humanos, nos gusta usar la intuición sobre cosas que entendemos para aprender sobre cosas que no entendemos. Esto también es parte de la ciencia. Y bajo tales circunstancias, hasta que alguien demuestre lo contrario (no "¡demuestre lo contrario!"), no hay sustituto para el experimento.

(Por supuesto, este es solo mi pensamiento al respecto. Para probar que tengo razón, tendría que hacer un experimento donde, por ejemplo, dos grupos de investigadores elegidos al azar investigaron, un grupo usando experimentos para verificar todo, y el otro no). Luego vea quién termina con la mejor teoría.)

¡Bienvenido a nuestro rebaño! Tu pregunta toca uno de los problemas fundamentales de la vida, pienso: ¿Cómo sabemos que lo que experimentamos es real?

Creo que es de costumbre distinguir entre Matemáticas por un lado y Ciencias (es decir: Ciencias Empíricas) por el otro:

• En Matemáticas, estamos tratando con la verdad absoluta, pero con una advertencia: siempre comenzamos con un conjunto de axiomas, y todas las conclusiones lógicas de ellos son verdaderas si los axiomas son verdaderos. Entonces, la verdad matemática es absoluta, cuando se entiende como la declaración compleja "Si [axiomas] entonces [conclusiones]"
• En Ciencia, por el contrario, sabemos que nunca podremos probar la verdad de una teoría; lo mejor que podemos hacer es refutarla: una teoría es una conjetura (muy educada), que predice algo, que podemos probar en un experimento. Si el experimento no confirma la predicción, entonces hemos probado que la teoría estaba equivocada, en términos generales. Entonces, el método científico es una herramienta para filtrar las falsedades, y la esperanza es que lo que nos quede después de mucho tiempo sea algo que esté razonablemente cerca de la verdad para todos los propósitos prácticos.

Entonces, para responder a su pregunta con una generalización radical: no, las matemáticas nunca pueden reemplazar a la ciencia empírica, aunque las dos se complementan y se informan entre sí.

¿Hay algún caso en el que la prueba matemática pueda reemplazar la experimentación?

No. Todo modelo físico debe ser validado experimentalmente. Además esas dos cosas no están relacionadas en absoluto.
Las teorías matemáticas puras prueban algo y los experimentos físicos verifican los modelos teóricos.
Si me dejas hacer una broma: ¿Demostrar que no tienes hambre, elimina una prueba con comida?

si los científicos alguna vez afirmaron haber encontrado un triángulo rectángulo en la naturaleza que viola el teorema de Pitágoras, sería más lógico asumir que cometieron un error

No. Solo significa que este triángulo está en una superficie no euclidiana. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras falla en triángulos esféricos, sin embargo, para ese caso uno puede encontrar el análogo del teorema de Pitágoras :

Y uno puede dibujar fácilmente tal triángulo en una superficie esférica, de modo que TODOS sus ángulos sean$\pi/2$! :

tal triangulo$A'B'C'$

Y para su placer: dado que matemáticamente existe un número infinito de topologías, existe un número infinito de excepciones al teorema de Pitágoras.

Para aumentar su curiosidad, un ejemplo de triángulo de excepción "creativo" en una superficie similar a una onda :

Lo siento, no soy un buen dibujante, por lo que mi imagen no es ideal, pero entiendes la idea.

Sí. Esto es exactamente lo que hizo Einstein en su artículo de 1905 sobre la relatividad especial. Consideró cómo las coordenadas se definen operativamente y de esto derivó resultados matemáticamente. Es cierto que Einstein utilizó la suposición empírica de la constancia de la velocidad de la luz, pero el argumento lógico (matemático) no depende de las propiedades físicas de la luz, sino solo de la existencia de una velocidad máxima en la naturaleza. La definición operativa de las coordenadas depende de la velocidad máxima. No tenemos que medir la velocidad máxima, porque la medida de la velocidad depende de la definición de coordenadas. En consecuencia, todas las velocidades se pueden expresar como fracciones de esa velocidad máxima.

De manera más general, podemos derivar toda la relatividad, especial y general, del principio general de la relatividad, según el cual las leyes locales de la física son las mismas independientemente de la materia de referencia que utilice un observador particular para cuantificarlas.

Es menos conocido, o entendido, que von Neumann hizo lo mismo con la mecánica cuántica. La estructura matemática de la mecánica cuántica depende únicamente de la suposición de que podemos dar probabilidades para los resultados de las mediciones, dadas las condiciones iniciales, junto con la observación de que los resultados de las mediciones no son consistentes con el determinismo.

Dirac unió qm y sr en mecánica cuántica relativista y derivó propiedades reales de electrones y fotones. El argumento se puede extender al modelo estándar de física de partículas.

En resumen, la forma general de toda la física moderna puede derivarse matemáticamente de principios generales. Todavía se necesita experimentar, pero solo para excluir alternativas discretas y determinar los valores de los parámetros fundamentales. He mostrado cómo hacer esto en detalle conceptual y matemático en mis libros (ver perfil).

Está el caso de la prueba matemática de que la gravedad tiene que existir a la luz de la teoría de cuerdas:

La teoría de cuerdas predice la existencia de gravitones y sus interacciones bien definidas. Un gravitón en la teoría de cuerdas perturbativa es una cuerda cerrada en un estado vibratorio de baja energía muy particular.

Ver para más información este artículo.

La gravedad ya se observaba antes de esta "adición posterior". ¿La observación de la gravedad vino antes de esta (todavía hipotética) predicción de la gravedad? No. Pero, por supuesto, sin otras observaciones, toda la teoría de cuerdas no existiría.
Esa es una de las reglas básicas de las ciencias. Las teorías tienen que basarse en la observación.
Podría ser que la gravedad de alguna manera se metió en la teoría de cuerdas a priori (que no sé).

Estoy seguro de que hay ejemplos de teorías que predicen nuevos (en contraste con el ejemplo de la gravedad en la teoría de cuerdas) nuevos procesos físicos medibles, efectos, constantes, leyes, etc.

Por ejemplo, en termodinámica estadística, se predice el hecho de que el calor fluye de caliente a frío. Esto ya se verificó antes del advenimiento de la termodinámica estadística, pero supongo que bien podría haber sido al revés.
Puede preguntarse si la base del enfoque estadístico (la existencia de los átomos) se podría haber hecho sin toda la física anterior. Pero creo que podría.
Nunca estaremos seguros porque la física se desarrolló de la forma en que lo hizo, lo que no quiere decir que no podamos hacer una suposición informada.

¿Puede ser que los supuestos básicos de una teoría matemática hayan sido validados experimentalmente, pero la predicción de una derivación en esa teoría podría INvalidarse experimentalmente? Sí, además de todas las razones ya dadas, siempre existe la posibilidad de que haya algo en la Naturaleza que NO esté siendo modelado por la teoría. Por eso, por ejemplo, algunos científicos siguen buscando la llamada 'quinta fuerza'.

En un nivel más prosaico: es posible que algún fenómeno astronómico sea predicho por una derivación matemática que comience con la Relatividad General, pero las observaciones reales se desvían de esa predicción debido a la presencia de efectos electromagnéticos [que GR no pudo explicar ya que solo aborda la gravitación ]. Menciono esto porque la mayoría de los astrónomos creen que el electromagnetismo es insignificante a escala galáctica, pero al menos un investigador ha cuestionado esta suposición.

Puedo pensar en al menos un caso donde las leyes científicas han sido probadas matemáticamente.

En matemáticas, demuestras teoremas aplicando la lógica a los axiomas. Los axiomas son hechos que se suponen correctos, sin necesidad de demostración alguna. Los ejemplos de axiomas utilizados por Peano incluyen:

0 is a natural number.
For every natural number x, x = x.
For all natural numbers x and y, if x = y, then y = x

En casi todos los casos, la ciencia no utiliza axiomas. En cambio, utiliza observaciones para ver cómo se comporta la naturaleza.

Sin embargo, hay algunos casos en los que la ciencia se acerca al uso de axiomas y, en ese caso, las matemáticas se pueden usar para probar otros hechos. Entonces, esa prueba se basa en gran medida en el hecho de que las suposiciones (axiomas) son correctas.

Un ejemplo famoso es la ley de conservación de la energía, la primera ley de la termodinámica . Desde las investigaciones de las máquinas de vapor iniciadas por Carnot , se ha descubierto que la energía en un sistema aislado se puede convertir en otras formas, pero no se puede crear. Emmy Noether puso esta ley sobre una base mucho más sólida cuando publicó su teorema de conservación en 1918. En este teorema, demostró matemáticamente que, mientras las leyes de la física no varíen con el tiempo, se sigue la conservación de la energía. Lo mismo ocurre con la conservación del impulso (que sigue si las leyes físicas no cambian con la ubicación) y otras cantidades conservadas. Para cada simetría hay una conservación correspondiente.

En otras palabras, aquí tratamos hechos muy básicos, como la invariancia de la ley física con respecto al tiempo o al lugar, como axiomas, y usamos las matemáticas para deducir nuestras leyes a partir de eso.

¿Hay algún caso en el que la prueba matemática pueda reemplazar la experimentación?

Sí, esto sucede todo el tiempo en entornos científicos reales.

(Ahora, para aquellos que no están de acuerdo, lea esto por completo antes de votarme negativamente).

Hay ciertos principios que son "dogma" entre los físicos. Algunos ejemplos clásicos incluyen:

• Causalidad
• Conservacion de energia

Si alguien le mostró alguna teoría que se le ocurrió (quizás tratando de resolver algunos problemas conocidos en un campo en particular), y le mostró que sus matemáticas implican que se viola la conservación de la energía; esto es equivalente entre los físicos cuando le dice al otro persona que está equivocada.

Si, en este ejemplo, las matemáticas son claras de que se viola la "conservación de la energía", los físicos INsistirían en que hacer un experimento para probar esta teoría es una pérdida de tiempo.

Ahora bien, no estoy diciendo estas cosas como una crítica a los físicos, pero la realidad es que hay algunas ideas que están tan arraigadas que se necesitaría una cantidad extraordinaria de evidencia para cambiar la opinión de los físicos. Y esto suele ser por una buena razón. Algunos conceptos están tan bien establecidos (como el "dogma" que mencioné anteriormente) que, de hecho, es una pérdida de tiempo cuestionarlos.

Así que sí, al final (a medida que el tiempo llega al infinito), los experimentos y la evidencia empírica siempre anularán la teoría matemática. Pero en un entorno práctico, hay muchas excepciones.

De alguna manera, es una de las razones por las que algunos piensan que los cambios importantes solo ocurren en "cambios de paradigma" gigantes, donde la generación más joven y de mente más abierta sobrevive a la terquedad de la generación anterior. (He oído decir que) el nacimiento de la mecánica cuántica tuvo este tipo de cambio, ya que gran parte de la generación anterior se negó a aceptar los nuevos modelos que coincidían con el trabajo experimental.

Sí tu puedes. ¿Cuánto es la suma de todos los números enteros positivos? -1/12, ¿verdad? ¿Es eso cierto? Sí. ¿Puedes demostrarlo empíricamente? No. Empíricamente obtendrías un número mayor que el anterior, teóricamente obtienes un número menor que el primer entero positivo.