Si existe una teoría del todo, ¿es necesariamente única?

Ampliaré mi comentario anterior en una respuesta:

Si busca un TOE que sea una teoría matemática, tiene que ser al menos una teoría lógica, es decir, necesita definir los símbolos y declaraciones, y las reglas de inferencia para escribir nuevas oraciones (verdaderas) a partir de los axiomas. Obviamente, necesitaría agregar estructuras matemáticas mediante axiomas adicionales, símbolos, etc. para obtener un poder predictivo suficiente para responder preguntas físicamente relevantes.

Entonces, dadas dos teorías, tienes la siguiente definición lógica de equivalencia: sea$A$y$B$ser dos teorías. Después$A$es equivalente a$B$si: para cada declaración$a$de ambos$A$y$B$,$a$es demostrable en$A$ $\Leftrightarrow$ $a$es demostrable en$B$.

Obviamente, usted puede ser capaz de escribir declaraciones en$A$que no están en$B$o viceversa, si los objetos y símbolos de$A$y$B$no son lo mismo. Pero supongamos (por simplicidad) que los símbolos de$A$y$B$coinciden, como las reglas de inferencia, y sólo difieren para los objetos (en el sentido de que$A$puede contener más objetos que$B$o viceversa) y axiomas.

En este contexto, ZFC y las teorías de conjuntos de Bernays-Godel son equivalentes cuando se consideran enunciados sobre conjuntos, incluso si los axiomas son diferentes y la teoría de Bernays-Godel define clases como objetos matemáticos, mientras que ZFC no lo hace.

Comencemos a hablar sobre física y TOE, siguiendo la discusión en los comentarios. Se ha dicho que dos TOE deben diferir solo en declaraciones no físicas, ya que tienen que ser TOE después de todo y, por lo tanto, explican todas las observaciones físicas de la misma manera. Estoy de acuerdo, y de ahora en adelante consideremos solo teorías en las que las declaraciones físicas son verdaderas.

Dejar$A$ser un TOE. Dejar$a$ser un axioma que es independiente de los axiomas de$A$(eso significa, en términos generales, que hay enunciados indecidibles en$A$, que son decidibles en$A+a$, pero todas las afirmaciones son verdaderas en$A$siguen siendo ciertos en$A+a$). En primer lugar, tal$a$existe por el teorema de Gödel, ya que siempre hay un enunciado indecidible, dada una teoría lógica. También,$a$no es físico, ya que$A$es un TOE. Finalmente,$A$y$A+a$no son equivalentes (en el sentido anterior) y son TOE.

Un ejemplo es, en mi opinión, la hipótesis del continuo generalizado (GCH): sin entrar en detalles, se ha demostrado con la teoría de los forzamientos que es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC. De este modo$ZFC$,$ZFC+GCH$y$ZFC+\overline{GCH}$(ZFC más la negación de GCH) son todas teorías no equivalentes que contienen$ZFC$. Es muy probable que un TOE deba contener teoría de conjuntos, por ejemplo, ZFC. Dejar$A$ser un dedo del pie tal. Además, es muy probable que$GCH$ no es un axioma físicamente relevante (al menos no lo es para nuestro conocimiento actual). Después$A$y$A+GCH$serían TOE no equivalentes, entonces un TOE no es único.

He estudiado un poco de lógica por diversión, así que puede que me equivoque ... Si alguien piensa así y me puede corregir, bienvenido sea ;-)

Al igual que yuggib, he decidido expandir mi (s) comentario (s) en una respuesta. Sin embargo, adoptaré un enfoque menos formal. A partir de los comentarios, parece que el siguiente podría ser un punto de vista viable y satisfactorio para el físico (no riguroso):

Dos teorías físicas del todo$A$&$B$claramente debe predecir la misma física en cualquier situación física, ya que deben ser ToE's. Sin embargo, podríamos imaginar que dos teorías físicas son (matemáticamente) no equivalentes en el siguiente sentido: existe una situación no física en la que las dos teorías predicen algo diferente.

Llamamos única a una teoría si no existe una teoría no equivalente en el sentido anterior.

La pregunta más importante es si es razonable para nosotros esperar que, suponiendo que exista un ToE y se pueda encontrar, un ToE sea único. Dado un ToE podemos, por supuesto, construir un ejemplo un tanto trivial y poco interesante de un ToE no equivalente agregando 'a mano' una nueva regla que cambia explícitamente las predicciones de la teoría de una manera estrictamente no física. Sin embargo, intuitivamente sabemos que no deberíamos considerar esto como un ToE no equivalente (aunque esto puede ser difícil de formalizar). Creo que esto es similar a la construcción descrita en la respuesta de yuggib.

Descontando estos ejemplos "fáciles", ¿podemos esperar que surja un ToE no equivalente de una manera menos trivial? Personalmente, creo que la respuesta es sí, pero no tengo matemáticas (o física) para respaldar mi afirmación. De hecho, no estoy seguro de si es posible razonar consistentemente sobre estos temas. Quizás, la mejor manera de pensar sobre esta pregunta es históricamente .

Ya se sabe que algunas de nuestras teorías actuales pueden formularse de una manera que es matemáticamente inequivalente en el sentido anterior. Un ejemplo que conozco es la teoría simétrica en el tiempo del electromagnetismo clásico de Feynman (en comparación, por supuesto, con la formulación habitual de EM), que predice que un electrón no irradia si está solo en el universo . Si podemos suponer que un ToE no es una cosa fundamentalmente diferente, epistemológicamente, que el paso final en nuestro conocimiento del universo en expansión gradual, podría ser razonable concluir de nuestras experiencias con teorías más antiguas que, de hecho, podemos esperar múltiples no equivalentes. teorías para existir.

Advertencia: no puedo afirmar con certeza que lo anterior sea razonable, consistente y/o verdadero.

Es posible probar si dos formalismos matemáticos son equivalentes

No, no es posible. Las matemáticas te permiten hablar de cosas de las que no puedes determinar si son equivalentes. El problema verbal es un pequeño ejemplo y la mayoría de los sistemas matemáticos sufren el mismo problema.

Así que ahora considere el conjunto de todas las posibles formulaciones de teorías que predicen el conjunto de todos los observables

Ahora ya está utilizando una teoría de conjuntos particular, ZFC y NFU pueden proporcionarle diferentes conjuntos en ambos niveles. Si desea corregir una versión particular de las matemáticas, se encontrará con el problema de los modelos no estándar. Puede intentar evitar eso yendo a la lógica de segundo orden y haciendo una teoría de segundo orden, pero la lógica de segundo orden asume exactamente lo que está discutiendo, por lo que es una pregunta clásica donde asume lo que quiere mostrar. Está intelectualmente en bancarrota en este contexto por esa razón.

Las matemáticas, tal como se practican habitualmente, son como un juego de simulación. El punto es que asumes algunas cosas y ves a dónde puedes ir desde allí, dejando las suposiciones sin cuestionar. Lo hace. Pero tratar de obtener más es problemático.

Pero más allá de las matemáticas, también hay algo de mala física.

Por ejemplo, podría haber un mundo donde la mecánica newtoniana 3D sea tan precisa como un TOE. Y podría haber otro mundo donde la mecánica newtoniana 2D sea tan precisa como un TOE. Pero esa primera teoría es completamente capaz de describir el segundo mundo, solo tendría todas las posiciones iniciales y los momentos en algún plano fijo.

La primera teoría permite más observaciones y más condiciones iniciales. Pero funciona bien para el universo más restrictivo.

Pero podríamos hacer lo mismo con GR, solo agregue otra coordenada$w$y decir que todo tiene su velocidad coordenada en el$w$la dirección sea constante, pero las otras cuatro coordenadas de un objeto evolucionan tal como lo hace en GR regular. Entonces, si las condiciones iniciales tienen todo en$w=0$inicialmente y no$w$entonces se quedan allí, pero esta teoría dimensional superior tiene la (innecesaria en nuestro caso) libertad para acomodar otras condiciones iniciales.

Se puede probar que si existe un ToE, necesariamente no es único

Tome cualquier teoría T. Agregue un nuevo parámetro. Digamos que si las cosas tienen el mismo valor de parámetro entonces las cosas se comportan como lo hacen en T pero si tienen diferentes valores se comportan de manera diferente, sea específico. Digamos que el valor del nuevo parámetro cambia de una manera simple, de modo que cuando las cosas nuevas están hechas de cosas que tenían el mismo valor que las demás del parámetro, las cosas nuevas tienen el mismo valor y donde es posible que todo seguir teniendo el mismo valor de ese nuevo parámetro de manera independiente de todo lo demás. Entonces tienes una nueva teoría N. Pero puedes usar N tan fácilmente como T simplemente especificando las condiciones iniciales donde todo tiene el mismo valor del parámetro y comienza el camino donde ese valor no cambia.

Pero la navaja de Occam favorece el primer TOE T porque el TOE N es realmente una teoría de demasiado.

Preguntaste si

se puede demostrar que es imposible decir nada sobre la unicidad de un ToE, en caso de que exista (es imposible probar la equivalencia matemática de las teorías)

Y, en general, no se puede probar la equivalencia de las teorías, pero algunas teorías se pueden probar. Así que a veces puedes, a veces no puedes. A veces puedes saber que no puedes.

Ya que dijiste que era una pregunta de matemáticas, no es sorprendente que todo dependa de tus definiciones exactas.