¿Están axiomatizados ciertos campos de la física?

Muchos campos de la física están axiomatizados, ya sea completamente o hasta cierto punto.

En primer lugar, para algo que será importante para casi todos los campos, tanto la mecánica lagrangiana como la mecánica hamiltoniana tienen sus raíces en las matemáticas formales, a través del cálculo en el haz de jets para el lagragiano y el haz de Legendre para el hamiltoniano (o para algo menos complejo). , derivados de Gâteaux sobre funcionales para el lagrangiano y la transformada de Legendre para el hamiltoniano). Puede verificar esto , por ejemplo, así como Henneaux para todos los asuntos relacionados con restricciones sobre el tema.

La relatividad especial tiene una gran variedad de sistemas de axiomas, ya sea basados ​​en la teoría bastante directa de los espacios afines de Lorentz, como se describe en Gourgoulhon , o a través de horribles sistemas de axiomas de primer orden como$\text{Basax}$,$\text{Reich}$o variaciones. Puede obtener más información sobre tales sistemas de axiomas aquí , por ejemplo. También es posible axiomatizarlo a través de su estructura causal, como lo hicieron Zeeman , Carter , Penrose y Kronheimer .

La relatividad general también se basa en reglas axiomáticas. Básicamente, un espacio-tiempo es una tupla.$(\mathcal M, \mathcal A, g, \nabla)$, con$\mathcal M$un$n$-dimensional ($n \geq 2$), Hausdorff, colector paracompacto,$\mathcal A$una estructura lisa en ese múltiple,$g$una sección del paquete métrico de firma$(-++...)$, y$\nabla$la conexión Levi-Civitta. A menudo también se supone que es$(\mathcal M, \mathcal A, g, \nabla, \uparrow, \varepsilon)$, con$\uparrow$una orientación temporal y$\varepsilon$una forma de medida. Luego, puede definir el contenido y la dinámica de la materia a través de secciones de paquetes vectoriales y el formalismo lagrangiano.

La mecánica cuántica generalmente se define a través de los axiomas de Dirac-von Neumann, como una teoría de operadores que actúan en un espacio de Hilbert (una buena revisión está en Hall , con una buena descripción general de los chanchullos probabilísticos revisados ​​en Streater ), o a través de integrales de trayectoria usando el Integral funcional Wiener rotado por mecha en el espacio de configuración del sistema. También es posible axiomatizarlo en formalismos matemáticos (equivalentes) menos populares, como la mecánica cuántica fraccionaria (donde las partículas se describen mediante procesos estocásticos) o la cuantización de la deformación.

La teoría cuántica de campos es más difícil de axiomatizar, pero hay una variedad de intentos, más o menos exitosos.

1. La axiomatización de Osterwalder-Schrader es el equivalente a la axiomatización de la integral de trayectoria QM para las teorías de campo.
2. La axiomatización de Wightman es el equivalente de la axiomatización de Dirac-von Neumann.
3. La axiomatización de Haag-Kastler es una pregavilla entre conjuntos abiertos del espacio-tiempo y$C^*$álgebras.

Todos estos se describen hasta cierto punto en Glimm y Jaffe , así como en Wightman y Streater y Haag . Hay un puñado de otras axiomatizaciones, como la teoría del campo cuántico funcional .

La mayoría de ellos funcionan bien solo para el caso gratuito. Hay algunos intentos de extender esos sistemas al caso interactivo que también involucran una gran cantidad de análisis microlocales realmente horribles y polinomios de Wick.

La mecánica clásica no es terriblemente difícil de axiomatizar. La parte cinemática suele estar simplemente axiomatizada por el espacio newtoniano (un espacio vectorial$\Bbb R \times \Bbb R^3$con un producto interno en$\Bbb R^3$y así sucesivamente), aunque se puede modelar como una variedad utilizando la teoría de Newton-Cartan . Luego, la dinámica se puede realizar de varias maneras, ya sea usando la ecuación de Newton directamente, o mediante la mecánica lagrangiana (a veces también se usa un enfoque de paquete para esto), o hamiltoniana. Es posible que desee consultar a Arnold para obtener más detalles divertidos sobre el tema. Nada demasiado complicado, aunque es importante especificar las condiciones de regularidad para evitar casos extremos extraños como la cúpula de Norton o el invasor del espacio . Tampoco puedo dejar de mencionar la axiomatización geométrica realmente estúpida , que no es apta para ningún cálculo pero tiene el mérito de existir.

EM, y por extensión la teoría de gauge en general, se realiza mediante el formalismo de conexiones principales. Puede encontrar más información al respecto, por ejemplo, en Campos de topología, geometría y calibre .

La termodinámica se puede axiomatizar utilizando las variedades de contacto que inducen dolor de cabeza, en un formalismo infernal llamado geometrotermodinámica .

Esos son todos los campos que tienen una axiomatización realmente formal que se me ocurra, pero probablemente haya otros.