El problema de la existencia de operaciones inversas de aaa y a†a†a^{\dagger}

El estado fundamental del oscilador armónico.$|0\rangle$obedece

$$a|0\rangle = 0$$ lo que significa que la acción de $a$no se puede deshacer: una vez que actúa con él en un estado, establece en cero el coeficiente delante de $|0\rangle$en la descomposición en estados propios de ocupación. Cualquier operador inverso candidato $a^{-1}$actuar sobre cero te dará cero nuevamente; nunca obtendrás $0$atrás por lo que implica que no hay operador $a^{-1}$eso satisfaría $$a^{-1}a = {\bf 1}.$$ Por otro lado, hay un inverso del lado opuesto que obedece $$aa^{-1} = {\bf 1}.$$ La acción de este $a^{-1}$en $|n\rangle$se define simplemente como $|n+1\rangle/\sqrt{n+1}$o el coeficiente que sea necesario para que sea inversa. Puedo escribir este operador inverso unilateral como $a^\dagger (aa^\dagger)^{-1}$que está bien definido porque $aa^\dagger$sólo tiene valores propios distintos de cero.

Para$a^\dagger$, las reclamaciones se revierten, por supuesto. Existe un inverso que obedece

$$(a^{\dagger})^{-1} a^\dagger = {\bf 1}$$ pero no el otro.