El propósito de esta pregunta es complementar una pregunta anterior El papel del rigor y preguntar sobre el papel del rigor matemático en la física. Para formular una pregunta que pueda ser respondida, y no solo discutida, dividí este gran tema en cinco preguntas específicas. Esta pregunta pide respuestas a las preguntas 3 y 4.
¿Cuáles son ejemplos de que insistir en el rigor retrasó el progreso en física?
¿Cuáles son ejemplos de que la comprensión matemática sólida de ciertos temas de la física provino de desarrollos posteriores en la física misma? (En particular, estoy interesado en los casos en los que la comprensión matemática rigurosa de los problemas de la mecánica clásica requería la mecánica cuántica, y también en los casos en los que el progreso en la física era crucial para las soluciones matemáticas rigurosas de las cuestiones matemáticas que no se originaron en la física).
En cuanto a (3), este tipo de cosas es una pregunta capciosa. En primer lugar, es difícil dar una buena definición de rigor, pero asumiré que por "falta de rigor" nos referimos a "un estado de cosas en el que se puede demostrar que un procedimiento matemático no funciona en todos los casos, pero no es necesario intentarlo". hecho para mostrar los casos en que se aplica son válidos".
En segundo lugar, es casi imposible señalar cuándo el rigor ha "ralentizado" la física porque los físicos no son rigurosos, una revolución que parece remontarse a Dirac. Básicamente se da por sentado que no preocuparse por ser lógicamente consistente o poner todo en una base rigurosa le ahorra tiempo. En física, nos preocupamos por obtener la respuesta correcta y tener un procedimiento que dé la respuesta correcta al menos en algunos otros casos.
Dicho esto, puedo proporcionar algunas anécdotas que al menos muestran que se puede lograr una gran cantidad de progreso sin rigor, si considera que 'centrarse en el rigor' retrasaría estas investigaciones, entonces esto podría ser lo que está buscando:
Series infinitas: en realidad, este es un ejemplo de las matemáticas, pero fue cuando los matemáticos y los físicos tenían el mismo trabajo. La noción de una serie infinita se remonta al menos a los griegos. Pero los argumentos sobre "si de hecho se pueden sumar infinitos elementos" no se resolvieron realmente hasta la época de Newton. Más tarde, Fourier descubrió su expansión en serie en senos y cosenos, lo que llevó a Gauss, Cauchy y Abel a finalmente poner las nociones de convergencia sobre una base rigurosa. ¿Podrían los griegos haber hecho el trabajo de Gauss, Cauchy y Abel sin el trabajo poco riguroso de Fourier?
QFT/La ecuación de Dirac -- Hasta donde yo sé, la cuantización canónica realmente no tiene una base matemática sólida. Tal vez alguien en el mundo entienda qué diablos estás haciendo cuando comienzas con una teoría clásica y luego, de alguna manera, simplemente reinterpretas una ecuación que describe el movimiento general del centro de masa de los cuerpos cargados, que son órdenes y órdenes de magnitud más grandes que cualquier partícula elemental, como un operador que actúa sobre la función de onda de las cosas más pequeñas que existen. Eso siempre me ha parecido sacado de la nada e incuestionable.
Nunca he encontrado una traducción del artículo de Klein que Dirac cita como que contiene la idea, ni he podido estudiar las críticas a la idea en ese momento, pero parece claro que Dirac estaba trabajando al pie de la letra aquí. , preguntándose "cómo sacar la raíz cuadrada de un operador". Todo lo que le importaba era impulsar símbolos de manera sistemática que tuvieran cierta cohesión, no la existencia de los objetos matemáticos que describían sus cálculos. Hasta el día de hoy, la teoría cuántica de campos no tiene fundamentos rigurosos, pero los físicos han estado usando el procedimiento de Dirac y, peor aún, la renormalización, para obtener la respuesta correcta. Si toda la comunidad de la física estuviera preocupada por el rigor, no se habría hecho física en los últimos 100 años.
El problema de la medida -- De nuevo en los fundamentos cuánticos, tenemos el problema de la medida. Este es el problema de que toda la evolución cuántica es unitaria, pero representar el resultado de las mediciones requiere operadores no unitarios. En otras palabras, la teoría cuántica dice "cuando no esté midiendo algo, use este procedimiento (evolución a través de la ecuación de Schrödinger), cuando vaya a medir algo, use este procedimiento (la regla de nacimiento), no se preocupe de que re un sistema cuántico".
Esto se ha señalado durante mucho tiempo como algo que necesita desesperadamente cierta consistencia filosófica, pero hasta el momento no hay una explicación de por qué necesitamos dos teorías para describir el universo basadas en la noción arbitraria de "medida". No estoy seguro de si llamaría a esto no riguroso, ya que hay un procedimiento matemático definido en ambos casos, pero esto tiene el mismo sabor que la falta de rigor en que, en lugar de analizar el caso límite (medidas), los físicos simplemente cepillan el punto debajo de la alfombra y diga "use esta solución".
En cuanto a (4), nuevamente, creo que esto es difícil de responder. Los sistemas físicos son un subconjunto de todos los sistemas matemáticos. Ha habido muchos casos en los que la física reveló que ciertos aspectos de las matemáticas eran muy importantes, por ejemplo
Y hay muchos casos en los que los experimentos físicos responden preguntas que no pudimos averiguar cómo calcular a partir de principios básicos (por ejemplo, cualquier integración numérica realizada en una computadora). Pero no estoy seguro de si hay casos en los que alguien estaba sentado en un laboratorio con un láser que cambiaba de color en el medio e inmediatamente se dio cuenta de que la cantidad de agujeros en una superficie bidimensional es suficiente para clasificar todos los espacios 2D.
kyle kanos
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Emilio Pisanty