¿Por qué las matemáticas funcionan para describir y resolver problemas de física? [cerrado]

Una opinión muy popular (como la defendida por Max Tegmark) es que (citando count_to_10):

las matemáticas funcionan porque el universo se basa en las matemáticas

http://www.scientificamerican.com/article/is-the-universe-made-of-math-excerpt/
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_universe_hypothesis

Tal punto de vista era común desde la época de Pitágoras, hasta Kepler y Newton, con intentos de encontrar patrones matemáticos místicos en la naturaleza y la descripción de Dios como un geómetra. Galileo escribió en 1623: "El libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas".

Una visión alternativa que es más "con los pies en la tierra" es que las matemáticas se desarrollaron a partir del intento de describir el mundo usando números, no simplemente contando sino también midiendo (distancia, ángulo, área, volumen, peso, etc.). Esto es obvio en el caso de la Geometría (literalmente, 'medida de la tierra'). La trigonometría también se desarrolló para su uso en topografía, navegación y astronomía (en este último caso para predecir inundaciones o eventos astrológicos auspiciosos). La probabilidad se desarrolló para responder preguntas sobre los juegos de azar. El cálculo se desarrolló al tratar de dar cuenta de la forma de las órbitas celestes. Más recientemente, las matemáticas del caos surgieron de la predicción del clima y la geometría fractal de la cuestión práctica de medir la longitud de una costa.

A lo largo de la mayor parte de su historia, las matemáticas se desarrollaron como una herramienta de la ciencia y la tecnología, desde la época de Arquímedes hasta la era de Euler, Lagrange, Gauss y Legendre. Por lo tanto, no debería sorprender que "funcione" en física. No fue sino hasta alrededor de 1850 que las Matemáticas Puras fueron reconocidas como una materia separada.

Como señala Paul T, el tema fue abordado por Eugene Wigner en un ensayo famoso, "La eficacia irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales" ( http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/wigner .pdf .) Sin embargo, creo que esta descripción de "eficacia irrazonable" choca con la realidad de la física matemática.

Eche un vistazo dentro de Landau & Lifschitz o cualquier otro texto de posgrado en física matemática. Al ver las horrendas matemáticas requeridas para resolver muchas ecuaciones diferenciales (Transformadas de Fourier, Funciones de Bessel, etc.), la mayoría de las cuales no tienen una solución analítica de todos modos, es posible que se pregunte si la descripción de "efectividad irrazonable" es realmente apropiada. Más aún cuando te das cuenta de que estas soluciones complejas siguen siendo solo una aproximación a la realidad, ya que las propias ecuaciones diferenciales han surgido solo después de hacer varias suposiciones simplificadoras.

En Mecánica Cuántica solo los problemas más simples pueden resolverse analíticamente. Algunas solo se pueden resolver en ecuaciones trascendentales (p. ej., barrera de potencial finita). Otros son manejables solo como "perturbaciones" de soluciones conocidas, o en QED requieren la suma de series infinitas de términos. En algunos campos se necesitan trucos especiales como Renormalización y Regularización para tratar con infinitos.

Que el álgebra lineal se aplique bastante bien en numerosas situaciones macroscópicas de interés se debe a que (1) muchos fenómenos son aproximadamente lineales en la estrecha región de interés y (2) están débilmente acoplados entre sí. Luego, las leyes empíricas como la Ley de Hooke y la Ley de Ohm dan resultados suficientemente precisos sin que los cálculos sean demasiado difíciles.

La Ley de los Grandes Números, que es la base de la mecánica estadística, también es de gran ayuda para sortear las dificultades de resolver ecuaciones no lineales a nivel molecular.

Más notablemente en el caso de la turbulencia, aunque podemos escribir la ecuación de Navier-Stokes, que nuevamente se basa en suposiciones simplificadas, nadie ha descubierto aún cómo resolverla. Pero incluso con un sistema tan simple como el Doble Péndulo, podemos escribir su ecuación de movimiento pero no siempre podemos predecir su comportamiento.

Como dice dmckee:

Piense por un momento en lo que sucede con las descripciones propuestas de la realidad cuyas matemáticas no funcionan para describir el sistema al que pertenecen. Las leyes de Kirchhoff no terminaron en los textos porque es divertido decir el nombre del hombre.

Cuando las matemáticas no proporcionan una solución a un problema de física, quedan fuera de los libros de texto. O simplificamos hasta que el problema sea solucionable. Nos concentramos en los problemas que podemos resolver y evitamos los que no podemos. Eso deja la impresión de que las matemáticas pueden resolver todos los problemas de física.

Entonces, en resumen, mi respuesta es que:

1. las matemáticas funcionan en la física porque fueron desarrolladas (en parte) con el propósito de describir el mundo, y
2. en realidad no funciona tan bien como algunas personas creen.

Respuesta a la versión aclarada

1. Solo tratamos el fenómeno como una caja negra cuando no tenemos ni idea de lo que está pasando. Luego desarrollamos ecuaciones empíricas: seleccionamos parámetros y los variamos para que coincidan con los resultados experimentales. Esto rara vez sucede en física, más aún en ingeniería.

2. Por lo general, nuestro objetivo es hacer que las ecuaciones modelen las interrelaciones de las variables relevantes: es decir, reflejen la estructura interna del fenómeno. Sin embargo, al resolver esas ecuaciones no estamos restringidos a imitar el fenómeno, a menos que estemos ejecutando una simulación. Podemos usar cualquier atajo matemático (por ejemplo, integración, analogía, simetría) para predecir el resultado final.

3. Sí, a veces usamos una combinación de estos dos enfoques: por ejemplo, la fórmula de masa semiempírica en física nuclear y las diversas ecuaciones de estado para gases reales. El análisis dimensional también podría entrar en esta categoría: elegimos qué variables son relevantes y buscamos relaciones coherentes entre ellas.

4. No estoy de acuerdo con Wigner en que hay un misterio tan grande sobre el proceso y su éxito, que es un "milagro" y que "nadie sabe cómo funciona". Soy, como dice Geremia, discípulo de Aristóteles como Wigner lo es de Platón. ¿Es un milagro que vivamos en el único planeta habitable a la vista? ¿O es una tautología, ya que no podemos hacer otra cosa? Del mismo modo, creo que no es más un milagro que hayamos tenido un éxito asombroso al aplicar las matemáticas a la física que que hayamos tenido un éxito asombroso al aplicar nuestras mentes al desarrollo de tecnologías aeroespaciales, informáticas y de comunicaciones.

El éxito de la aplicación de las matemáticas nos ha impulsado a utilizarlas casi exclusivamente, quizás a expensas de otros enfoques. Como dije anteriormente, tendemos a centrarnos en los problemas a los que se pueden aplicar las matemáticas y descuidar aquellos a los que no se puede. Y no estamos satisfechos de haber entendido algo hasta que podamos escribir y resolver la(s) ecuación(es) gobernante(s).

Cuando las matemáticas existentes no se aplican a un problema, intentamos o inventamos nuevas herramientas, conceptos o ramas de las matemáticas para resolverlo, como la topología, las geometrías no euclidianas, la teoría de las catástrofes, la geometría fractal, el caos, los sistemas autoorganizados y la emergencia. . Olvidamos los muchos fracasos que han tenido los estudiantes de doctorado al tratar de aplicar matemáticas inapropiadas a un problema obstinado.