Gabriele Veneziano, fuerza nuclear fuerte y función beta

Los físicos nunca trabajan de esta manera, esta es una caricatura extrema que sería una broma si no fuera trágica. Veneziano no estaba ajustando datos experimentales a una función matemática, estaba usando principios generales para deducir qué forma una amplitud de dispersión autoconsistente a nivel de árbol en una teoría de infinitas partículas en trayectorias Regge en línea recta, obedeciendo a la dualidad Dolen-Horn-Schmidt, debe tener.

Esta historia es algo que la gente inventó después para disfrazar el origen de la teoría de cuerdas en la teoría de la matriz S de la década de 1960. La gente de la matriz S que hizo la teoría de cuerdas fueron perdedores políticos, su teoría era demasiado avanzada para que la gente sin Internet la entendiera y la difundiera. Gracias a la previsión y la influencia política de Witten, la situación se invirtió en 1984, cuando Witten comprendió que la teoría de cuerdas tenía sentido. Pero la mayoría de las personas que se dedicaron a la teoría de cuerdas en la década de 1980 todavía despreciaban la teoría de Regge y la teoría de la matriz S, porque la batalla de la década de 1960 entre la matriz S y la teoría de campos terminó en 1974 con la victoria total de la teoría de campos, y todas estas personas estaban del lado ganador.

La mayoría de la gente original de la matriz S también abandonó el barco, por necesidad política (y el hecho innegable de que la teoría del campo de calibre no abeliano era interesante y correcta para las interacciones fuertes, y también había muchas frutas al alcance de la mano después de t'Hooft y la obra revolucionaria de Veltman). La mayoría de los teóricos de cuerdas originales que desarrollaron la teoría de protocuerdas en 1968-1974 cambiaron de campo: estudiaron teoría de campos de 1974 a 1984. Esto incluye a Veneziano, Gross y Susskind. Toda esta gente volvió a abrazar la teoría de cuerdas en 1984 cuando estaba políticamente bien hacerlo. Realmente no puedes culparlos, ya que cualquiera que estudiara S-matrix fue descartado en la década de 1970, como parte de la contrarrevolución conservadora de la generación del baby boom. Cualquier cosa que oliera a positivismo lógico fue expulsada de la academia, incluida la teoría de la matriz S.

La historia falsa de que "Veneziano buscó en un libro de matemáticas, encontró la función beta y notó que era una amplitud de dispersión" fue inventada por personas que no entendían lo que estaba haciendo Veneziano. Esto no es cierto, y Veneziano ha estado amargado por su trabajo (que requirió mucho pensamiento y algunos de los razonamientos matemáticos y físicos más inspirados en la historia de la física) siendo tergiversado de esta manera.

Veneziano derivó la amplitud de dispersión de taquiones de cuerda abierta a partir de los principios de la teoría de Regge y la teoría de la matriz S, y se vio obligado a utilizar la función beta para hacer que las siguientes condiciones funcionaran:

• La amplitud de dispersión (a nivel de árbol) debe tener un polo cada vez que la energía golpea una masa de partículas.
• Debería haber un número infinito de partículas a lo largo de una función de trayectoria$\alpha(s)$que relaciona el espín de las partículas con la masa cuadrada por una línea recta con pendiente universal (todos los mesones se encuentran en estas líneas).
• El residuo del polo debe ser positivo (unitaridad requerida).
• El residuo del polo en s en función de t debe ser el polinomio apropiado en t, para reproducir la dependencia angular requerida de dispersión de partículas de espín variable.
• La amplitud de dispersión debe ser analítica lejos de los polos (al orden del árbol).
• La amplitud debe ser invariante de cruce (es por eso que la amplitud de Veneziano es una suma de tres funciones beta).
• La amplitud de dispersión debe obedecer a la escala regular adecuada en s, de modo que el ancho de la dispersión a altas energías debe reducirse adecuadamente.
• La masa de la partícula que entra para hacer la dispersión debe ser identificable con las partículas en la teoría (debe poder colocar cualquiera de las partículas intermedias intercambiadas en las patas salientes).

y la propiedad más importante (inducida a partir de experimentos sobre las interacciones fuertes de Dolen Horn y Schmidt):

• La amplitud no debe ser una suma sobre el intercambio de partículas t y s, como en la teoría de campos, pero el intercambio t debe ser dual al intercambio s, en el sentido de que la suma de todas las partículas intercambiadas en el canal t debe producir el s- postes de canal.

Estas condiciones son tan estrictas (especialmente la última), que la gente pretendía probar que no hay solución en 1968. Veneziano puso fin a estas afirmaciones, dando lo que es esencialmente la única solución a estas limitaciones. Comenzando con la función B (más o menos la función beta)

$$B(s,t) = {\Gamma(-(s-\alpha(s)))\Gamma(-(t-\alpha(t)))\over\Gamma(-(s+t-\alpha(s+t)))}$$

y simetrizar cruzando para hacer una amplitud de dispersión

$$A(s,t) = B(s,t) + B(u,t) + B(s,u)$$

(tenga en cuenta que$B(x,y)=B(y,x)$) Donde s,t,u son las variables de Mandelstam, y$\alpha(x) = ax+b$es la trayectoria Regge en línea recta, resuelve las condiciones de autoconsistencia a nivel de árbol.

Esta historia se resume en dos excelentes artículos de revisión, ambos aparecidos en "Dual Models" (una colección de reimpresiones de 1984). Un artículo es Modelos de resonancia dual de Mandelstam de 1974.

Veneziano encontró la función B(x,y) por sus propios métodos, lo que requirió una profunda intuición de la teoría de Regge. Lo primero es que una trayectoria Regge tiene polos en infinitas posiciones positivas. La función gama

$$\Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx$$

tiene la propiedad de que tiene polos en todas las posiciones de enteros negativos, que se deduce de la ecuación funcional:

$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$$

que define$\Gamma$como la generalización de la función factorial a valores no enteros:$\Gamma(n)=(n-1)!$. Usando la ecuación funcional para valores negativos de s, obtienes una división por 0 tan pronto como llegas a 0, y obtienes polos con un residuo que aumenta factorialmente en las posiciones negativas.

Esto era bien conocido en el mundo de la teoría de Regge, y la función Gamma se utilizó para amplitudes fenomenológicas de Regge a finales de la década de 1960. Pero estos ajustes fenomenológicos no funcionaron para hacer una teoría completamente consistente, solo para obtener algunas amplitudes de dispersión más o menos correctas en el orden más bajo en el intercambio Regge. Puede encontrar este tipo de amplitudes en todas partes en la literatura a finales de los años 60. Estos tipos de amplitudes funcionan para dar la dispersión del haz cercano, que tiene algunas propiedades paradójicas: se contrae en ángulo a altas energías de acuerdo con una superposición de leyes de potencia, cada ley de potencia separada corresponde al intercambio de una secuencia de Partículas espaciadas regularmente de mayor masa y espín, que están relacionadas por$m^2 = a J + b$(una línea recta de masa al cuadrado para girar) con el coeficiente a igual para todas las trayectorias (excepto el pomeron, pero ignore esto), y b diferente de trayectoria a trayectoria.

También se sabía que la forma integral de la función gamma era el análogo de la teoría de Regge de la representación de Schwinger de los propagadores de partículas en el tiempo adecuado (pero esto no es del todo correcto; la generalización adecuada es la hoja del mundo, pero esto llegó mucho más tarde ). Nadie antes de Veneziano tenía una generalización consistente usando las funciones Gamma de los propagadores de la teoría de campo, ya que las partículas no se dispersaban de manera completamente consistente en todas las energías.

La función beta se puede considerar como (el recíproco de) una generalización del coeficiente binomial a valores no enteros:

$${a +b \choose b} = {(a+b)!\over a!b!}$$

Lo cual, en forma gamma, y ​​eliminando algunos factores obvios que solo cambian las cosas en una unidad, es más o menos

$${\Gamma(x+y) \over \Gamma(x)\Gamma(y)} = {1\over \beta(x,y)}$$

Lo que sucede aquí es que los ceros dobles que espera cuando x e y son enteros negativos se suavizan a ceros simples porque son cancelados por el$\Gamma(x+y)$. Esta cancelación es requerida por unitaridad, porque el recíproco de esto es la amplitud, y no se puede tener un polo doble en una amplitud de dispersión. Debe cancelar los polos dobles, y esto esencialmente determina de manera única el tercer factor gamma (ya que los polos de una función analítica determinan la función hasta las asintóticas).

Esta forma es esencialmente una de las dos amplitudes simples que obedecen la condición de que se puede considerar como trayectorias Regge lineales de intercambio de nivel de árbol (la otra es la amplitud de cuerda cerrada de Koba y Nielsen, que implica un producto similar de tres funciones gamma) .

En sus primeros artículos, Veneziano notó que Euler ya había definido esta función (por otras razones) y le dio un montón de identidades interesantes, incluyendo

$$\beta(x,y) = \int_0^1 q^{x-1} (1-q)^{y-1} dq$$

Esta identidad podría ser lo que encontró en un libro de matemáticas (tal vez, tal vez no, puede preguntarle), y esta identidad fue muy importante: le permitió a Veneziano hacer una imagen 1-d de la dispersión, donde hay una variable sigma que controla "dónde" estaba ocurriendo cada contribución a la dispersión. Insertando el factor apropiado en la posición correcta$q$, Veneziano pudo generalizar su amplitud de dispersión para encontrar la amplitud correcta para dispersar las otras partículas en la teoría. Esta amplitud no es arbitraria, porque él ya sabía dónde estaban todas las partículas en la teoría en términos de masa y espín, a partir de la amplitud del taquión. Pero el cuadro q le dio la idea de introducir operadores locales para cambiar el tipo de partículas.

Entonces Venziano y Fubini introdujeron operadores de vértice, que están localizados en$q$. La variable$q$ahora se entiende que parametriza la posición del punto final de cuerda abierta donde las partículas ingresan al disco después de un mapa conforme, pero esto tomó un tiempo para desarrollarse. El formalismo del operador de vértice es esencialmente equivalente a la hoja mundial de cadenas moderna, pero requiere reconocer que hay una cadena interna en la teoría, algo que no es obvio. Esto fue hecho por Susskind, Nielsen y Nambu, y también por Ramond, cada uno de los cuales tenía una imagen ligeramente diferente de cómo era la imagen interna de la cuerda. Susskind y Nambu tuvieron la idea correcta, y luego la teoría de cuerdas se desarrolla lógicamente a partir de ahí.

Es imposible aprender la historia adecuada de la teoría de cuerdas de los teóricos de campo o de obras populares. La lectura de los artículos originales es esencial. También hubo una serie de artículos de revisión e historia de los autores originales en los últimos años en arxiv, lo que ayuda a ordenar la historia correctamente.