El papel del rigor [cerrado]

Los argumentos rigurosos son muy similares a la programación de computadoras: debe escribir una prueba que pueda (en principio) finalmente llevarse a cabo en un sistema formal. Esto no es fácil y requiere definir muchas estructuras de datos (definiciones) y escribir muchas subrutinas (lemas), que usa una y otra vez. Luego prueba muchos resultados en el camino, solo algunos de los cuales son de utilidad general.

Esta actividad es extremadamente esclarecedora, pero consume mucho tiempo, es tediosa y requiere mucho tiempo y cuidado. Los argumentos rigurosos también introducen muchas distinciones pedantes que son extremadamente importantes para las matemáticas , pero no tan importantes en los casos que se tratan en física.

En física, nunca se tiene suficiente tiempo, y siempre debemos tener una comprensión lo suficientemente precisa de las matemáticas que se pueda transmitir con la máxima rapidez a la próxima generación. A menudo, esto significa que se renuncia al rigor total y se introducen atajos de notación y terminología imprecisa que dificultan la rigurosidad del argumento.

Sin embargo, algunos de los argumentos en física son pura magia. Para mí, el truco de la réplica es el mejor ejemplo. Si esto alguna vez obtiene una versión rigurosa, me quedaré estupefacto.

1) ¿Cuáles son las ideas más importantes y más antiguas (nociones, resultados) de la física que aún carecen de una formulación/pruebas matemáticas rigurosas?

Aquí hay viejos problemas que podrían beneficiarse de un análisis riguroso:

• Relaciones de doble dispersión de Mandelstam: la amplitud de dispersión para la dispersión de 2 partículas a 2 partículas se puede expandir analíticamente como una integral sobre la discontinuidad imaginaria$\rho(s)$en el parámetro s, y luego esta discontinuidad$\rho(s)$se puede escribir como una integral sobre el parámetro t, dando una doble discontinuidad$\rho(s,t)$Si vas por el otro lado, primero expandes la discontinuidad en t y luego en s, obtienes la misma función. ¿Porqué es eso? Mandelstam argumentó a partir de la teoría de la perturbación, y hubo algunos trabajos en la década de 1960 y principios de la de 1970, pero nunca se resolvió, que yo sepa.
• El más antiguo, que data de siglos atrás: ¿Es el sistema solar (newtoniano, libre de cometas y asteroides) estable para todos los tiempos? Este es uno famoso. Los límites rigurosos sobre dónde falla la integrabilidad ayudarán. El teorema KAM podría ser la mejor respuesta posible, pero en realidad no responde la pregunta, ya que no se sabe si las perturbaciones planetarias son lo suficientemente grandes como para generar inestabilidad en 8 planetas, algunas lunas grandes y el sol.
• mecánica estadística continua: ¿Qué es un conjunto termodinámico para un campo continuo? ¿Qué es el límite continuo de una distribución estadística? ¿Cuáles son las teorías de campos estadísticos continuos aquí?
• ¿Cuáles son las soluciones solitónicas topológicas genéricas de las ecuaciones de campo no lineales clásicas? Dada una ecuación clásica, ¿cómo encuentras los posibles solitones topológicos? ¿Pueden generarse todos continuamente a partir de datos iniciales dados? Para un ejemplo específico, considere el plasma solar --- ¿hay solitones magneto-hidrodinámicos localizados?

Hay miles de problemas aquí, pero mi imaginación falla.

2) El esfuerzo de explicaciones matemáticas rigurosas, formulaciones y demostraciones de nociones y resultados de la física lo toman principalmente los matemáticos. ¿Cuáles son ejemplos de que este esfuerzo fue beneficioso para la física misma?

Hay algunos ejemplos, pero creo que son raros:

• La prueba rigurosa de Penrose de la existencia de singularidades en una superficie atrapada cerrada es el ejemplo canónico: era un argumento riguroso, derivado de las ideas de la geometría de Riemann, y era extremadamente importante para aclarar lo que sucede en los agujeros negros.
• Los mosaicos cuasi-periódicos, también asociados con Penrose, surgieron por primera vez en el trabajo de lógica pura de Hao y Wang , donde pudieron demostrar que un mosaico apropiado con bordes coincidentes complicados podía hacer un cálculo completo. El número de mosaicos se redujo hasta que Penrose dio solo 2, y finalmente los físicos descubrieron los cuasicristales. Esto es espectacular, porque aquí comienzas en la parte no física más esotérica de las matemáticas puras, y terminas en el más práctico de los sistemas experimentales.
• Álgebras de Kac-Moody: surgieron en mitad de las matemáticas, mitad de la teoría de cuerdas temprana. Los resultados se hicieron físicos en la década de 1980 cuando la gente comenzó a interesarse en los modelos de grupos múltiples.
• La clasificación ADE de la teoría de grupos de Lie (y toda la teoría de grupos de Lie) en matemáticas es esencial en la física moderna. Mirando hacia atrás, Gell-Mann obtuvo la simetría del quark SU(3) al generalizar el isospín en matemáticas puras.
• La teoría de la obstrucción fue esencial para comprender cómo formular teorías topológicas de campo en 3D (este fue el tema de una pregunta reciente muy interesante), que tienen aplicación en el efecto Hall cuántico fraccional. Se trata de matemáticas muy abstractas conectadas con la física de laboratorio, pero solo se utilizan ciertas partes más simples de la maquinaria matemática general.

3) ¿Cuáles son ejemplos de que insistir en el rigor retrasó el progreso en física?

Esto ha sucedido varias veces, lamentablemente.

• Mecánica estadística: La falta de pruebas rigurosas de la ergodicidad de Boltzmann retrasó la aceptación de la idea de equilibrio estadístico. Los argumentos rigurosos eran defectuosos --- por ejemplo, es fácil demostrar que no hay transiciones de fase en un volumen finito (dado que la distribución de Boltzmann es analítica), por lo que esto se consideró un golpe contra la teoría de Boltzmann, ya que vemos transiciones de fase. También podría probar todo tipo de tonterías sobre la mezcla de entropía (que se solucionó al tratar correctamente con la indistinguibilidad clásica). Dado que no había pruebas de que los campos alcanzaran el equilibrio térmico, algunas personas creían que la luz del cuerpo negro no era térmica. Esto retrasó la aceptación de la teoría de Planck y de Einstein. La mecánica estadística no fue completamente aceptada hasta la solución del modelo Ising de Onsager en 1941.
• Integrales de trayectoria: Este es el ejemplo más notorio. Estos fueron aceptados por algunos físicos inmediatamente en la década de 1950, aunque = el formalismo no estuvo cerca de completarse hasta que Candlin formuló las variables de Grassman en 1956. Pasado este punto, podrían haberse convertido en estándar, pero no lo hicieron. El formalismo tenía mala reputación por dar resultados erróneos, principalmente porque las personas se sentían incómodas con la falta de rigor, por lo que no podían confiar en el método. Escuché a un físico notable quejarse en la década de 1990 de que la integral de trayectoria espacio-fase (con p y q) no podía ser correcta porque p y q no conmutan, y en la integral de trayectoria lo hacen porque son números clásicos ( no, en realidad, no lo hacen --- su valor en una inserción depende discontinuamente de su orden de tiempo en la forma correcta). no fue
• Construcción de la teoría cuántica de campos: los rigurosos métodos de la década de 1960 construyeron una caja de herramientas de complicados métodos de distribución y resumen de series de perturbaciones que resulta ser la forma menos útil de ver las cosas. Ahora son álgebras C* y distribuciones valoradas por operadores. El camino correcto es a través de la integral de camino de la manera wilsoniana, y esto se acerca más al punto de vista original de Feynman y Schwinger. Pero una escuela de físicos rigurosos en la década de 1960 erigió grandes barreras a la entrada en el trabajo de la teoría de campos, y el progreso en la teoría de campos se detuvo durante una década, hasta que se eliminó nuevamente el rigor en la década de 1970. Pero todavía falta una formulación rigurosa adecuada de los campos cuánticos.

Además de esto, hay innumerables teoremas de no-go que retrasaron el descubrimiento de cosas interesantes:

• El tiempo no puede ser un operador (Pauli): esto retrasó el surgimiento de la formulación de partículas integrales de camino debido a Feynman y Schwinger. Aquí, la variable de tiempo en la ruta de la partícula está integrada en la ruta como cualquier otra cosa.
• Prueba de Von-Neumann de variables no ocultas: tiene un descendiente moderno en el teorema de Kochen Sprecher sobre conjuntos entrelazados de qubits. Esto retrasó la teoría de Bohm, que enfrentó una gran resistencia al principio.
• Sin cargas que se transformen no trivialmente bajo el grupo de Lorentz (Coleman-Mandula): este teorema tenía implicaciones tanto positivas como negativas. Mató las teorías SU(6) (bien), pero hizo que la gente se perdiera la supersimetría (malo).
• El orden de los cuasicristales es imposible: este teorema "no pasa" es la prueba estándar de que el orden periódico (la definición general de los cristales) está restringido a los grupos espaciales estándar. Esto hizo que los cuasicristales fueran una tontería. El supuesto que se viola es el supuesto de periodicidad estricta.
• Sin compactaciones de supergravedad con fermiones quirales (Witten): este teorema asumía una compactación múltiple y los orbifolds perdidos de 11d SUGRA, que dan lugar a las cuerdas heteróticas (también Witten, con Horava, por lo que Witten resolvió el problema).

4) ¿Cuáles son ejemplos de que la comprensión matemática sólida de ciertos temas de la física provino de desarrollos posteriores en la física misma? (En particular, estoy interesado en los casos en los que la comprensión matemática rigurosa de los problemas de la mecánica clásica requería la mecánica cuántica, y también en los casos en los que el progreso en la física era crucial para las soluciones matemáticas rigurosas de las cuestiones matemáticas que no se originaron en la física).

Hay varios ejemplos aquí:

• La comprensión del teorema adiabático en la mecánica clásica (que la acción es una invariante adiabática) provino de la mecánica cuántica, ya que estaba claro que era la acción la que necesitaba ser cuantificada, y esto no tendría sentido sin que fuera adiabática invariante. No estoy seguro de quién demostró el teorema adiabático, pero esto es exactamente lo que estabas preguntando: un teorema clásico perspicaz que proviene de la mecánica cuántica (aunque algunas décadas antes de la mecánica cuántica moderna)
• La comprensión de las anomalías cuánticas provino directamente de una observación física (la alta tasa de descomposición del pión neutro a dos fotones). Aclarar cómo sucede esto a través de los diagramas de Feynman, a pesar de que un argumento ingenuo dice que está prohibido, llevó a una comprensión completa de todos los términos anómalos en términos de topología. Esto, a su vez, condujo al desarrollo de la teoría de Chern-Simons y la conexión con los polinomios de Knot, descubiertos por Witten, y que le valieron una medalla Fields.
• La teoría de la distribución se originó en el trabajo de Dirac para intentar dar una buena base a la mecánica cuántica. Bohr y Rosenfeld entendieron la naturaleza distributiva de los campos cuánticos en la década de 1930, y la teoría matemática se tomó esencialmente de la física a las matemáticas. Dirac ya definió distribuciones usando funciones de prueba, aunque no creo que fuera pedante con las propiedades del espacio de función de prueba.

5) El papel del rigor se discute intensamente en libros y blogs populares. Proporcione referencias (o mejor referencias anotadas) a estudios académicos sobre el papel del rigor matemático en la física moderna.

No puedo hacer esto, porque no conozco ninguno. Pero si sirve de algo, creo que es una mala idea tratar de hacer demasiado rigor en física (o incluso en algunas partes de las matemáticas). La razón básica es que las formulaciones rigurosas deben estar completamente estandarizadas para que las pruebas de diferentes autores encajen sin costuras, y esto solo es posible en retrospectiva, cuando las mejores definiciones se hacen evidentes. En el presente, siempre estamos confundidos a través de la niebla. Así que siempre hay un período en el que diferentes personas tienen definiciones ligeramente diferentes de lo que quieren decir, y las pruebas no funcionan del todo y pueden ocurrir errores. Esto no es tan terrible, siempre y cuando los métodos sean perspicaces.

El verdadero problema es la enorme barrera de entrada que presentan las definiciones rigurosas. Los argumentos reales siempre son mucho menos intimidantes que la impresión superficial que obtienes al leer la prueba, porque la mayor parte de la prueba consiste en configurar una maquinaria para hacer que la idea principal se lleve a cabo. Enfatizar el rigor puede poner un énfasis indebido en la maquinaria en lugar de la idea.

En física, estás tratando de describir lo que hace un sistema natural, y no hay tiempo que perder en estudiar sociología. Así que no puedes aprender toda la maquinaria que los matemáticos estandarizan al mismo tiempo, solo aprendes las ideas. Las ideas son suficientes para avanzar, pero no son suficientes para convencer a los matemáticos de que sabe de lo que está hablando (ya que le resulta difícil seguir las convenciones). Internet mejora esto, ya que las barreras de entrada se han derrumbado drásticamente, y podría haber una manera de fusionar el pensamiento riguroso y no riguroso hoy en formas que no eran posibles en épocas anteriores.

Rigor es claridad de conceptos y precisión de argumentos. Por lo tanto, al final no hay duda de que queremos rigor.

Para llegar ahí necesitamos libertad para la especulación, primero, pero para una buena especulación necesitamos...

... terreno sólido, que es el único terreno que sirve como un buen punto de partida para más especulaciones.

en las palabras de nuestra revisión , que trata sobre este tema.

A veces, los físicos se comportan como si el rigor se tratara de reemplazar un argumento obvio pero no preciso con una prueba tediosa y aburrida. Pero la mayoría de las veces el rigor se trata de identificar las definiciones precisas y claras de tal manera que el argumento obvio se vuelve también indudablemente correcto.

Hay muchos ejemplos históricos.

Por ejemplo, la noción simple de formas diferenciales y derivadas exteriores. Al final, no es gran cosa, pero cuando se introdujeron en la física, no solo proporcionaron rigor para una multitud de argumentos vagos sobre la variación infinitesimal y la cantidad extendida. Quizás lo más importante es que aclararon la estructura. Maxwell todavía llenó dos páginas con las ecuaciones del electromagnetismo en un momento en que incluso los conceptos de álgebra lineal eran un misterio arcano. Hoy decimos simplemente$d \star d A = j_{el}$y ver mucho más allá, por ejemplo derivar la ley de cuantización de carga rigurosamente con la facilidad de un niño. El concepto claro y preciso es lo que hace esto por nosotros.

Y aunque probablemente los ingenieros podrían (¿y quizás lo hagan?) trabajar usando los conceptos originales de Maxwell, los teóricos se habrían estancado. Uno no puede ver las sutilezas de la teoría auto-dual de calibre superior, por ejemplo, sin el concepto riguroso de la teoría de De Rham.

Hay muchos más ejemplos como este. Aquí hay otro: CFT racional fue "comprendido completamente" y declarado resuelto en un nivel no riguroso durante mucho tiempo. Cuando se estableció la rigurosa clasificación FRS de CFT completamente racional, resultó que algunas de las supuestas construcciones CFT racionales en la literatura en realidad no existían, mientras que existían otras que se habían perdido, lo que es más importante: de repente era muy claro por qué y cuáles de estos ejemplos existen. Sobre la base sólida de este nuevo rigor, ahora es mucho más fácil fundamentar nuevos argumentos no rigurosos que van mucho más allá de lo que se podía hacer antes. Por ejemplo sobre el comportamiento de CFT racional en holografía .

El rigor tiene que ver con la claridad y la precisión, que son necesarias para ver más allá. Como Ellis Cooper acaba de decir en otra parte:

El rigor limpia la ventana por la que brilla la intuición.

Sigo pensando que no es el lugar adecuado para este tipo de preguntas. Sin embargo, el tema en sí es interesante, y también tendré una oportunidad. Como no soy un filósofo de la ciencia ni un historiador (y probablemente haya muy pocas personas así en este sitio, una de las razones por las que esta pregunta podría no ser adecuada), me centraré en mi propio campo restringido, la física estadística. .

1. Hay muchos. Por ejemplo, una derivación rigurosa satisfactoria de la ecuación de Boltzmann, siendo el mejor resultado hasta el día de hoy el célebre teorema de Lanford demostrado a fines de la década de 1970. En la mecánica estadística del equilibrio, uno de los principales problemas abiertos es la prueba de que el$O(N)$Los modelos tienen correlaciones exponencialmente decrecientes a todas las temperaturas cuando$N>2$(supuestamente existe una estrecha relación entre estos modelos y los modelos de calibre de cuatro dimensiones, y este problema podría arrojar luz sobre el tema de la libertad asintótica en QCD, consulte este documento para una discusión crítica de estos temas). Por supuesto, hay muchos otros, como tratar de comprender por qué la renormalización ingenua en el espacio real (por ejemplo, la destrucción) de los sistemas de espín de celosía proporciona resultados razonablemente precisos (aunque se sabe que tales transformaciones generalmente están mal definidas matemáticamente); pero me parece que es poco probable que suceda, lo que no significa que la filosofía del grupo de renormalización no pueda encontrar usos en la física matemática (ya ha llevado a varios resultados profundos).

2. Bueno, un ejemplo importante fue el cálculo riguroso de Onsager de la energía libre del modelo 2d Ising, que mostró que todos los esquemas de aproximación utilizados por los físicos en ese momento daban predicciones completamente erróneas. Los resultados rigurosos también pueden conducir a (i) nuevos enfoques para viejos problemas (este es el caso reciente con SLE), (ii) nuevos resultados que no eran conocidos por los físicos (este es el caso, por ejemplo, con los resultados de Johansson y otros sobre modelos de crecimiento), (iii) una comprensión mucho mejor de algunos fenómenos complicados (por ejemplo, las propiedades de equilibrio de los modelos de Ising de magnetización fija), (iv) resolver controversias en la literatura de física (un ejemplo famoso fue el problema de determinar el valor crítico inferior dimensión del modelo de Ising de campo aleatorio, que fue objeto de acalorados debates en la década de 1980 y fue rigurosamente resuelto por Bricmont y Kupiainen).

3. Ninguno que yo sepa. Aunque, se podría decir que las "paradojas" planteadas contra la teoría de Boltzmann por Zermelo y Loschmidt eran de naturaleza matemática (y por lo tanto criticaban la aparente falta de rigor del enfoque de Boltzmann), y retrasaron la aceptación de sus ideas.

4. No estoy seguro de este punto. Ciertamente, las numerosas conjeturas que se originan en la física, en particular, las sorprendentes predicciones, brindan motivación y, a veces, cierto grado de comprensión a los matemáticos... Pero no estoy seguro de que sea eso lo que está pidiendo.

5. Hay muchos documentos que discuten estos temas, por ejemplo:

• "Matemáticas teóricas": Hacia una síntesis cultural de las matemáticas y la física teórica , por Arthur Jaffe y Frank Quinn, Bull.Am.Math.Soc. 29 (1993) 1-13.
• ¿Es necesario el rigor matemático en física? , por Kevin Davey, The British Journal for the Philosophy of Science (2003), volumen: 54, número: 3, páginas: 439-463.

y referencias en el mismo.

De ninguna manera puedo pretender dar una respuesta completa a esta pregunta, pero tal vez una respuesta parcial sea mejor que ninguna respuesta.

Con respecto a (1), quizás el ejemplo más famoso sea la ecuación de Navier-Stokes. Sabemos que produce resultados extremadamente buenos para modelar el flujo de fluidos, pero ni siquiera podemos demostrar que siempre existe una solución. De hecho, hay un premio Clay para probar la existencia de soluciones suaves en$\mathbb{R}^3$(enunciado del problema aquí ).

Un ejemplo de (2) es que el estudio de la teoría cuántica topológica de campos ha estado motivado, al menos en parte, por las matemáticas.

En cuanto a (3), realmente no creo que esto haya sucedido nunca. Sin embargo, con esto no quiero decir que exigir rigor no prevendría o retrasaría el progreso de la física, sino que parece extremadamente difícil encontrar un ejemplo de un caso en el que una comunidad relativamente grande no haya simplemente ignorado dicha demanda. Ciertamente, es cierto que las formulaciones matemáticamente rigurosas a menudo van muy por detrás del estado actual del arte en física, pero no hay nada inesperado en esto.

Actualmente no tengo ninguna buena respuesta con respecto al resto de su pregunta.

Hay un ensayo relativamente interesante sobre esto (C. Vafa - Sobre el futuro de la interacción matemática/física) en Matemáticas: fronteras y perspectivas , que también menciona el ejemplo de TQFT.