El operador laplaciano menos es definido positivo

La identidad de Green dice:

$$\int_U \left( \psi \nabla^{2} \varphi + \nabla \varphi \cdot \nabla \psi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \psi \left( \nabla \varphi \cdot \mathbf{n} \right)\, dS$$

Seleccionar$\psi=\bar{u}$y$\varphi=u$y negar:

$$-\int_U\bar{u}\nabla^2u+\nabla \bar{u}\cdot\nabla u\; dV=-\oint_{\partial U}\bar{u}(\nabla u\cdot\mathbf{n})dS.$$

Por supuesto$\nabla u\cdot\mathbf{n}=0$por hipótesis sobre las condiciones de contorno, por lo que podemos reorganizar esto para

$$\left\langle -\nabla^2 u,u\right\rangle=\int_U \overline{\nabla u}\cdot \nabla u\;dV.$$

El integrando de la derecha es$\sum_i|\partial u/\partial x_i|^2$, por supuesto que no es negativo y, de hecho, es solo cero cuando$\nabla u=0$. De hecho, la integral de la derecha muestra un medio para definir un producto interno para funciones vectoriales de valores complejos, por lo tanto$\langle\nabla u,\nabla u\rangle$en la respuesta de Andrew, y saber esto a priori proporcionaría un medio muy directo para ver la definición positiva. El producto interior es

$$\langle \mathbf v,\mathbf w\rangle =\int_U \mathbf v\cdot \overline{\mathbf w}\; dV.$$

No me queda claro si la afirmación sobre$-\Delta^2$La definición positiva de está en el contexto de funciones de valor real o de valor complejo$u$. En la situación anterior$u=\bar{u}$así que ya tenía todo lo que necesitaba, y en la última situación, la identidad que tenía estaba ligeramente fuera de lugar (no implicaba un conjugado complejo) para el propósito en cuestión, aunque todo lo que era necesario era una ligera modificación.

Según la penúltima ecuación

$$\left< -{ \nabla }^{ 2 }u,u \right>= \left< { \nabla }u,\nabla u \right>>0$$ para $u\not\equiv 0\;$.