Demostración del teorema de Noether: ¿Cómo lidiar con las transformaciones en el tiempo?

Question

Demostración del teorema de Noether: ¿Cómo lidiar con las transformaciones en el tiempo?

Diracología

Estaba siguiendo la demostración del teorema de Noether en Lemos - Analytical Mechanics , página 73.

Él considera una transformación infinitesimal completa:

t^{'} = t + ϵ X (q (t), t),

$t'=t+\epsilon X(q(t),t),$

\begin{matrix} (2.160) & q^{'} (t^{'}) = q (t) + ϵ Ψ (q (t), t), \end{matrix}

$q'(t')=q(t)+\epsilon\Psi(q(t),t),\tag{2.160}$ cuyo cambio en la acción es

\begin{matrix} (2.161) & Δ S = \int_{t_{1}^{'}}^{t_{2}^{'}} L (q^{'} (t^{'}), \frac{d q^{'} (t^{'})}{d t^{'}}, t^{'}) d t^{'} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q (t), \frac{d q (t)}{d t}, t) d t . \end{matrix}

$\Delta S=\int_{t_1'}^{t_2'}L\left(q'(t'),\frac{dq'(t')}{dt'},t'\right)dt'-\int_{t_1}^{t_2}L\left(q(t),\frac{dq(t)}{dt},t\right)dt.\tag{2.161}$ Tenga en cuenta que los límites de integración se cambian en el primer término de la RHS.

Luego, después de enchufar la transformación $\Delta S$ él consigue

\begin{matrix} (2.166) & Δ S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q + ϵ Ψ, \dot{q} + ϵ ξ, t + ϵ X) (1 + ϵ \dot{X}) d t - \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t, \end{matrix}

$\Delta S=\int_{t_1}^{t_2}L(q+\epsilon\Psi,\dot q+\epsilon \xi,t+\epsilon X)(1+\epsilon\dot X)dt-\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q,t)dt,\tag{2.166}$ dónde

\begin{matrix} (2.165) & ξ = \dot{Ψ} - \dot{q} \dot{X} . \end{matrix}

$\xi=\dot\Psi-\dot q\dot X.\tag{2.165}$

¿Por qué la primera integral de arriba está sobre $[t_1,t_2]$ en lugar de $[t_1',t_2']?$
¿No hay un término proporcional a $\epsilon\left[L(q(t_2),\dot q(t_2),t_2)-L(q(t_1),\dot q(t_1),t_1)\right]$ siendo descuidado en el $\Delta S$ ¿arriba?

Respuestas (1)

Demostración del teorema de Noether: ¿Cómo lidiar con las transformaciones en el tiempo?

qmecanico · Answer 1

Se acostumbra dejar fluir la región de integración con la llamada transformación horizontal (2.160a). Árbitro. 1 comienza muy ambicioso declarando en eq. (2.160a) que el generador horizontal $X(q(t),t)$ es una función de $q(t)$ , lo cual es inusual. Ref posterior. 1 parece suponer implícitamente que $X(t)$ es solo una funcion del tiempo $t$ , como normalmente se supone.
Teorema 2.7.1 en la pág. 74 en Ref. 1 solo discute el caso cuando la acción $S$ tiene una simetría estricta. En principio , el teorema de Noether también funciona si la acción tiene una cuasisimetría, es decir, si sólo es invariante hasta los términos de contorno, véase la pág. 75 en ref. 1.

Referencias:

NA Lemos, Mecánica Analítica , 2018; Sección 2.7.

1. ¿Qué hace que esta costumbre sea matemáticamente cierta? 2. La acción será cuasi-invariante si la diferencia es la integral de una derivada total de una función de $q$ y $t$ solo. Pero en el presente caso, la diferencia es la integral de $dL/dt$ , es decir, una derivada total de una función de $q$ , $\dot q$ y $t$ .

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