Muestre que esta acción es invariante bajo una transformación de simetría

Declaración de la pregunta

Considere el siguiente Lagrangiano para un sistema clásico:

$$\mathcal{L}(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{\alpha}{x^2}$$ Muestre que la acción es invariante bajo las siguientes transformaciones de simetría: $$\begin{cases}t'=\frac{at+b}{ct+d}\\x'=\frac{1}{ct+d}x\end{cases}$$ Con $\text{Det}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=1.$

Intento de solución

$$t'=\frac{at+b}{ct+d}\implies \text{d}t'=\frac{1}{(ct+d)^2}\text{d}t$$ $$x'=\frac{1}{ct+d}x\implies \text{d}x'=\frac{1}{ct+d}\text{d}x$$ El uso de estas dos relaciones da: $$\implies \frac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=\dot{x}'=(ct+d)\dot{x}$$ Entonces,

$$\begin{align}S'(x',\dot{x}')&=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t'\mathcal{L}(x',\dot{x}')\\\\ &=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t'\bigg\{\frac{1}{2}m(\dot{x}')^2-\frac{\alpha}{x'^2}\bigg\}\\\\&=\int^{t_2'}_{t_1'}\frac{1}{(ct+d)^2}\text{d}t\bigg\{\frac{1}{2}m(ct+d)^2\dot{x}^2-(ct+d)^2\frac{\alpha}{x^2}\bigg\}\\\\&=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t\bigg\{\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{\alpha}{x^2}\bigg\}\\\\&=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t~\mathcal{L}(x,\dot{x})\end{align}$$

Esto está casi en la forma correcta excepto por los límites de tiempo en la integral. Probablemente me estoy perdiendo algo bastante obvio, pero no puedo pensar en eso en este momento, espero que alguien pueda señalarlo por mí.

¿Es simplemente que cuando cambié la variable integradora de$t'\rightarrow t$los límites también cambian correspondientemente?