Supuestos reg. Energía cinética y energía potencial en la formulación lagrangiana

Recientemente he sido introducido a la mecánica lagrangiana. Mi exposición anterior a las matemáticas lagrangianas ha sido en forma de optimización de funciones restringidas usando multiplicadores de Lagrange.

Entiendo las matemáticas detrás de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Entiendo la prueba detrás de la conservación de la energía usando estas ecuaciones asumiendo la invariancia de la traducción del tiempo. También creo entender que las simetrías siempre darán como resultado alguna cantidad conservada. No hay desafíos allí.

Pero para mi ojo inexperto, parece que hay algunas suposiciones que hacemos en el proceso, y tengo problemas para entender por qué estas suposiciones son ciertas. ¿O tal vez mis suposiciones son incorrectas (en cuyo caso, después de todo, no entiendo las matemáticas)?

1. Parece que sabemos que el principio de la acción estacionaria es cierto para el universo. Por ejemplo, aquí hay una excelente respuesta sobre por qué el Principio de acción estacionaria es cierto. Estoy convencido.

2. Definimos la energía cinética del sistema como ser$T = \sum f(\mathcal{P}_n(\dot{q}))$dónde$\mathcal{P}_n$es un polinomio de algún grado.

3. Definimos$V(q)$siendo la energía potencial del sistema.

4. Suponemos que el sistema es invariante en la traducción del tiempo.

5. Definimos el lagrangiano como$L(\dot{q}, q) = T(\dot{q})-V(q)$.

Preguntas:

1. ¿Por qué T es sólo una función de$\dot {q}$? ¿Cómo sabemos con certeza?

2. ¿Por qué V es sólo una función de$q$? ¿Cómo sabemos con certeza?

He estado tratando de entender por qué estas suposiciones son ciertas durante algunos días y me encuentro dando vueltas. ¿Alguien puede darme una intuición (o referencias) de por qué estas suposiciones son ciertas?